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Niveau Maths sup
stratégie de raisonnement
Posté par James bond
bonsoir, j'ai une propriété, et je dois démontrer qu'il existe un unique couple vérifiant cette propriété.
je dois alors montrer l'existence de ce couple( c'est à dire qu'il en existe au moins un)
et l'unité ( c'est à dire qu'il en existe un seul vérifiant la propriété)
quelle est la méthode usuelle, pour démontrer l'unicité?
Salut.
En fait j'en connais deux:
-tu suppose qu'ils existe deux, et tu montre qu'ils sont égaux;
-tu suppose qu'il en existe deux différents et tu montre qu'il y a contradiction.
voici mon cas:
soit u(n)=(1+racine2)^n
v(n)=(1-racine2)^n
je dois démontrer l'existence et l'unicité d'un couple (a(n);b(n)) tel que:
u(n)=a(n)+(racine2)b(n)
ok, j'ai réussi à le faire.
j'ai tout exprimé en tant que somme d'entiers et en tant que produit avec racine de 2
maintenant, les choses se compliquent:
on a u(n)=a(n)+b(n)racine 2
et on cherche à démontrer: a(n)^2-2b(n)^2= (-1)^n
justement, c'est l'objet de la question d'aprés.
le but étant de démontrer que: a(n)-b(n)racine2=v(n)
mais pour la question d'avant, je m'avoue un peu bloqué
Dommage, parce que ça marche bien. C'est un DM? Dans ce cas je comprends que l'on ne puisse pas modifier l'ordre des questions.
oui, un DM...
de plus, j'avais pensé à faire ce que tu proposais..
on peut pas le faire par récurrence à ton avis?
Je ne sais pas si l'expression de en fonction de
est simple ou pas. Idem pour
.
Je ne sais pas non plus si le "bourrinage" marche, c'est-à-dire écrire les et les
en fonction de la parité de
et de calculer le produit.
Mais en fait ce qui bloque James bond c'est que le fait que soit à démontrer dans une question ultérieure, ce qui sous-entend qu'il faut le faire d'une autre manière, que je ne trouve pas.
bonjour, la récurrence s'impose pour faire cet exercice si on ne veut pas utiliser les autres méthodes....
tout le début du problème peut se traiter simplement....
on démontre par récurrence que
vrai si n=0 a_0=1 b_0=0
si c'est vrai à l'ordre n alors
donc
et
ensuite on démontre par récurrence que
comment ?
cependant, n'ayant jamais fait encore de cas d'existence et unicité, comment rédigeriez vous l'existence et l'unicité du couple ((a(n), b(n)) pour:
(1+racine2)^n=a(n)+b(n)racine2
merci d'avance
bonjour:
pour l'existence:
on démontre par récurrence qu'i existe an et bn
vrai si n=0 a_0=1 b_0=0
si c'est vrai à l'ordre n alors
donc
et
pour l'unicité, on suppose qu'il existe une autre écriture:
si
et on montre que an=a et bn=b....
faut-il expliciter le calcul?
et comment montres tu l'existence de a(n) et b(n) pour u(n)?
désolé, pour l'instant c'est la première fois qu'on me demande de démontrer ca...
ce qui me gène, c'est comment tu es passé de l'écriture de u(n) à u(n+1) en multipliant par ( 1+racine2)...
il ne me manque que l'unicité à voir, et j'aurai enfin la méthode de raisonnement sur existence et unicité.
comment rédigerais tu cette dernière partie?
pour l'unicité, on suppose qu'il existe une autre écriture:
si
et on montre que an=a et bn=b....
rédaction:
si
et b_n différent de b[/tex]
avec différent de b
alors
donc
impossible car racine de 3 n'est pas un rationnel.....
donc et par suite
ce qui montre qu'il n'y a qu'une seule façon d'exprimer u_n sous cette forme....
une étourderie, c'est bien-sur racine de 2
cela ne change rien au raisonnement....
encore toutes mes excuses....
et ne pas oublier de préciser que a;b;an et bn sont des entiers....
merci Estafette pour ta précieuse aide...
j'ai encore un peu de mal pour montrer l'existence, le principe de récurrence marche souvent dans ce cas là?
La récurrence est souvent une bonne méthode pour montrer l'existence...
mais elle a comme principal défaut qu'on ne comprend pas bien ce qui se passe....
moi, personnellement (mais je ne suis pas toujours un exemple à suivre) , je préfère bidouiller et ensuite de rédiger correctement....
j'aurais commencé par trouver l'expression et ensuite pour démontrer j'aurais pris la récurrence car c'est très rigoureux....
Rebonjour
Dans ce cas, moi je ne ferais pas de récurrence... Je dirais simplement que pour tout polynôme P(X), on peut écrire , simplement parce que
et
=
. Pour l'unicité, il faut en effet utiliser le fait que
est irrationnel.
on me demande ensuite d'en déduire la limite de la suite v(n)
et d'arriver au final à: (a(n))/(b(n)) converge vers racine 2
vn tend vers zéro (suite géométrique de raison inférieure à 1 en valeur asolue)
donc a_n - b_n \sqrt 2 tend vers 0
donc........a_n / b_n - sqrt 2 converge vers 0