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suite de fonctions holomorphes

Posté par
khachane 02-03-18 à 13:16

bonjour. Est ce qu'on peut caractériser la convergence uniforme d'une suite de fonctions analytiques (f_n(z)=\sum_{p=0}^\infty a_{n,p}z^p)_nsur tout compact d'un ouvert à l'aide des  a_{n,p} :

Posté par
jsvdbre : suite de fonctions holomorphes 02-03-18 à 14:54

Bonjour khachane.
On sait en général que dan un telle cas, la somme est holomorphe sur l'ouvert et que la suite des dérivées complexes converge aussi uniformément sur tout compact (encore un joli contraste avec l'analyse réelle).
J'imagine donc que la suite (a_{n,p})_n tend vers a_p, le coeff de z^p dans le DSE de la limite. En dehors de ça, je ne vois pas trop.

Posté par
jsvdbre : suite de fonctions holomorphes 02-03-18 à 14:55

Petite précision : ce que j'ai appelé la somme est en fait la limite de la suite (f_n)_n

Posté par
khachaneFonction holomorphe 02-03-18 à 15:21

Soit (f_n(z)=\sum_{p=0}^\infty a_{n,p}z^p)_n une suite de fonctions analytiques sur le disque unité D(0,1).
S'il existe M>0 tel que, pour tout  n et p |a_{n,p}|\les M et pour tout p ( |a_{n,p})_n convergé vers 0, alors (f_n)_n converge uniformément sur tout compact de D(0,1) vers 0.
A-t'on la réciproque ?

*** message déplacé ***

Posté par
jsvdbre : suite de fonctions holomorphes 02-03-18 à 15:25

Tu aurais pu directement poser ce post : (Lien cassé) !

Posté par
jsvdbre : Fonction holomorphe 02-03-18 à 15:25

suite de suite de fonctions holomorphes

*** message déplacé ***

Posté par
malou Webmasterre : suite de fonctions holomorphes 02-03-18 à 15:29

toutes les questions d'un même sujet doivent être posées au même endroit sur l'

Posté par
jsvdbre : suite de fonctions holomorphes 02-03-18 à 16:16

khachane @ 02-03-2018 à 15:21

Soit (f_n(z)=\sum_{p=0}^\infty a_{n,p}z^p)_n une suite de fonctions analytiques sur le disque unité D(0,1).
S'il existe M>0 tel que, pour tout  n et p |a_{n,p}|\leq M et pour tout p ( |a_{n,p}|)_n converge vers 0, alors (f_n)_n converge uniformément sur tout compact de D(0,1) vers 0.
A-t'on la réciproque ?


f_0(z) = a_{0,0} + a_{0,1}z + a_{0,2}z^2+\cdots + a_{0,p}z^p+\cdots

f_1(z) = a_{1,0} + a_{1,1}z + a_{1,2}z^2+\cdots + a_{1,p}z^p+\cdots

\cdots

f_n(z) = a_{n,0} + a_{n,1}z + a_{n,2}z^2+\cdots + a_{n,p}z^p+\cdots

Soit \varepsilon > 0 et \rho \in [0;1[

D'après le principe du maximum, chaque fonction |f_n| atteint son max sur le cercle C(0;\rho) . Donc on travaille sur ce cercle.

Par ailleurs, il existe un p_\varepsilon entier, tel que |M|\dfrac{\rho^{p_\varepsilon+1}}{1-\rho} < \varepsilon

Comme la suite (|a_{n,p}|)_n converge vers 0 pour tout p, alors on peut trouver n_\varepsilon > 0 tel que \forall i \in \{0,\cdots,p_\varepsilon\}, \forall n \geq n_\varepsilon, |a_{n,i}|\leq \varepsilon}

Ainsi, \forall n \geq n_\varepsilon, on décompose comme ceci pour |z| = \rho

|f_n(z)| \leq {\red (|a_{n,0}| + |a_{n,1}|\rho + |a_{n,2}|\rho^2+\cdots + |a_{n,p_\varepsilon}|\rho^{p_\varepsilon}})+ ({\blue |a_{n,p_\varepsilon+1}|\rho^{p_\varepsilon+1}+\cdots}})

On coupe en deux et on étudie chacun des morceaux à part.

Posté par
khachanere : suite de fonctions holomorphes 02-03-18 à 16:23

Merci pour votre réponse mais je voudrais la réciproque

Posté par
jsvdbre : suite de fonctions holomorphes 02-03-18 à 22:46

\text{Pour la réciproque, étudie la suite dont le terme général est donné par }\blue (n,z)\in \N \times D(0;1) \mapsto f_n(z) = \sum_{p\geq n}^{}{pz^p}

Posté par
khachanere : suite de fonctions holomorphes 07-03-18 à 01:22

Merci maintenant est ce qu'on peut caractériser la convergence uniforme sur tout compact de D(0;1) de  (f_n(z)=\sum_{p=0}^\infty a_{n,p}z^p)_n à l'aide des coefficients a_{n,p}


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