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Posté par
lakere : Suite implicite pour FerreSucre 18-02-20 à 12:51

2) Tu as compris intuitivement ce qui se passait mais la rédaction laisse à désirer.

  Il faut utiliser le TVI (dans le cas ici d'une fonction strictement monotone) donc le citer en rappelant les hypothèses du théorème adaptées à la situation.

Citation :
TVI (dans le cas d'une fonction strictement monotone):

  Soit f une fonction continue et strictement monotone sur [a,b].

Alors, pour tout k  compris entre f(a) et f(b), l'équation f(x)=k admet une solution unique dans [a,b]

  Ce théorème se prolonge au cas où f est définie sur un intervalle ouvert ]a,b[ (a et b finis ou infinis) ou semi ouvert, dans le cas où les limites de f aux bornes de l'intervalle sont connues.


Dans notre cas, f est continue et strictement décroissante sur ]0,1]

   \lim\limits_{x\to 0}f(x)=+\infty et f(1)=1

Pour tout n\in\mathbb{N}^*,   1+\dfrac{1}{n}\in \left[f(1),\lim\limits_{x\to 0}f(x)\right[=[1,+\infty[

En conséquence, l'équation f(x)=1+\dfrac{1}{n} admet une solution unique u_n sur ]0,1]

Posté par
FerreSucrere : Suite implicite pour FerreSucre 18-02-20 à 12:52

D'accord, c'est bon tu as répondu à ma question, tout est plus clair maintenant.

Posté par
FerreSucrere : Suite implicite pour FerreSucre 18-02-20 à 12:55

Ouais la rédaction, comme ce genre d'exercice on en fait jamais en 1ère, fin pas aussi complet on demande des choses basique tel quel p(x) = 0 ou variation, signe.
Ducoup pour le TVI j'ai eu du mal à le rédiger clairement. Le sens était là mais la rédaction n'était pas là

Posté par
carpediemre : Suite implicite pour FerreSucre 18-02-20 à 13:07

f est continue et strictement décroissante de ]0, 1] sur [1, +oo[

pour tout entier non nul n 1 + 1/n [1, +oo[ donc l'équation f(x) = 1 + 1/n admet une unique solution dans ]0, 1]

de plus f est strictement décroissante donc les solutions des équations f(x) = 1 + 1/n et f(x) = 1 + 1/(n + 1) sont dans l'ordre inverse 1 + 1/n et 1 + 1/(n + 1)

ce qui permet de déterminer le sens de variation de la suites des solutions

Posté par
lakere : Suite implicite pour FerreSucre 18-02-20 à 13:11

Oui, j'avais compris que tu avais compris

La 3) c'est vraiment à revoir.

  f(u_{n+1})=1+\dfrac {1}{n+1}\leq 1+\dfrac{1}{n}=f(u_n)

f(u_{n+1})\leq f(u_n)

et avec la décroissance de f sur ]0,1], on a immédiatement:

   u_{n+1}\geq u_n;   la suite (u_n) est croissante.

  De plus elle est majorée (par 1) donc convergente vers \ell avec \ell\in[0,1]

  Enfin:

   \lim\limits_{n\to +\infty}f(u_n)=f(\ell) (avec la continuité de f)

  et \lim\limits_{n\to +\infty}f(u_n)=\lim\limits_{n\to +\infty}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)=1

Donc f(\ell)=1

   d'où \ell=1  (toujours le TVI qui permet d'affirmer que l'équation f(x)=1 a une solution unique; 1)

La 4) va attendre un peu mais là ce que tu as fait est carrément faux.

Posté par
lakere : Suite implicite pour FerreSucre 18-02-20 à 13:12

Ou carpediem s'occupera de la 4)

Posté par
FerreSucrere : Suite implicite pour FerreSucre 18-02-20 à 13:25

Ouais pour le 4 j'étais un peu perdu mdr, « je suis pas sûr » dans ma réponse.
D'acc pour la 3, c'est pareil trop de mal à expliquer, c'est mon vrai soucis.

Ducoup c'est ok pour la 3).
La 4) on va voir mdr je me doute bien que ce que j'ai fais est totalement à revoir.

Posté par
FerreSucrere : Suite implicite pour FerreSucre 18-02-20 à 13:28

Attendez avant de répondre à la 3 je vais essayer de la refaire peut être

Posté par
lakere : Suite implicite pour FerreSucre 18-02-20 à 13:34

Citation :
Attendez avant de répondre à la 3 je vais essayer de la refaire peut être


La 4) Je suppose ? On attend, on attend...

Juste un petit commentaire; je pense que tu connais cette limite (qui n'a rien à voir avec l'exercice):

   \lim\limits_{n\to +\infty}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n=\text{e}

  la parenthèse tend vers 1  (et est supérieure à 1) et l'exposant tend vers l'infini et pourtant...

Bref la forme 1^{\infty} est une forme indéterminée au même titre que les 4 autres que tu connais.

Posté par
FerreSucrere : Suite implicite pour FerreSucre 18-02-20 à 13:49

Yes je sais lake j'y ai pensais des le début en voyant ton exercice mais Je me suis rendu compte que ça avait l'air pas utile.

Je vais y réfléchir à la 4) on voit la réponse en fin d'après-midi . Salut.

Posté par
lakere : Suite implicite pour FerreSucre 18-02-20 à 13:51

Bon après midi FerreSucre

Ne te fais pas trop d'illusions: la 4) est difficile et il est normal de sécher

Posté par
FerreSucrere : Suite implicite pour FerreSucre 18-02-20 à 14:25

Oui elle est difficile pour l'instant j'ai pas le temps de réfléchir dessus.
Mais j'ai deux théories de limite :
= 0
= \dfrac{1}{e}

Je pense que la deuxième a peut-être quelque chose d'intéressant mais c'est complexe je réfléchis...

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Suite implicite pour FerreSucre 18-02-20 à 18:07

Bonjour,
Mon petit grain de sel sur la dérivabilité en 1 de f :

Citation :
On pose :
k(x) = lnx-x + 1
j(x) = x²-2x+1

\lim_{x\to 1}\dfrac{\dfrac{k(x)-k(1)}{x-1}}{\dfrac{j(x)-j(1)}{x-1}}

\lim_{x\to 1}\dfrac{k'(x)}{j'(x)}

\lim_{x\to 1}\dfrac{\dfrac{1}{x}-1}{2x-2}

Pour la dernière limite, inutile de sortir un marteau pilon :
Pour x différent de 1, \; \dfrac{\dfrac{1}{x}-1}{2x-2} = -\dfrac{1}{2x} .
La limite en 1 n'est pas insurmontable

Posté par
lakere : Suite implicite pour FerreSucre 18-02-20 à 19:24

Bonsoir Sylvieg

Oui, bien sûr, mais ton message me donne l'occasion de rebondir:

Au niveau Terminale, l'encadrement:

  Pour tout h>0,    h-\dfrac{h^2}{2}+\dfrac{h^3}{3}\leq \ln(1+h)\leq h-\dfrac{h^2}{2}

   permet de conclure quant à la dérivabilité de f en 1 moyennant des études de fonctions différences parachutées et une « adaptation » lorsque h<0

Tout ceci après le changement de variable x=1+h

Je déteste et pour couper court, j'ai envoyé FerreSucre vers l'Hôpital.

Y a-t-il moyen de faire autrement au lycée ?

Posté par
larrechre : Suite implicite pour FerreSucre 18-02-20 à 19:39

Bonjour à tous,

Pour mon information personnelle, le théorème dit "de la limite de la dérivée"  n'est pas enseigné au lycée ?

Posté par
lakere : Suite implicite pour FerreSucre 18-02-20 à 19:56

Bonsoir larrech

Streng verboten comme on dit par chez moi

Posté par
larrechre : Suite implicite pour FerreSucre 18-02-20 à 20:00

Pourquoi ?

Posté par
carpediemre : Suite implicite pour FerreSucre 18-02-20 à 20:04

ouais je cherchais un truc plus "théorique"

g(x) = x - 1 = \ln'(1) (x - 1) + \ln 1 est l'approximation affine de la fonction ln au voisinage de 1

f(x) - f(1) = \dfrac {\ln x - g(x)} {x - 1} = \dfrac {\ln x - \ln 1 - (x - 1) \ln' 1} {x - 1}

donc \dfrac {f(x) - f(1)} {x - 1} = \dfrac {\dfrac {\ln x - \ln 1} {x - 1} - \ln' 1} {x - 1}

mais je n'arrive pas (plus ?) à conclure ...


alors autre chose puisque FerreSucre aime bien les intégrales et autres IPP :

ln est indéfiniment dérivable :

donc \ln x - \ln 1 = \int_1^x \dfrac 1 t dt = \left[ \dfrac 1 t (t - x) \right]_1^x + \int_1^x \dfrac 1 {t^2} (t - x)dt = x - 1 + \left[ \dfrac 1 {t^2} \dfrac 1 2 (t - x)^2 \right]_1^x + \int_1^x \dfrac 1 {t^3} (t - x)^2 dt = x - 1 - \dfrac 1 2 (1 - x)^2 + \int_1^x \dfrac 1 {t^3} (t - x)^2dt

notons alors I(x) cette dernière intégrale ...

au voisinage de 1 \dfrac 1 {t^3} est borné par une constante k et alors on a

- \dfrac 1 2 - k \left| \int_1^x (t - x)^2 dt \right| \le \dfrac {f(x) - f(1)} {x - 1} = \dfrac {\ln x - (x - 1)}{(x - 1)^2} \le - \dfrac 1 2 + k \left| \int_1^x (t - x)^2 dt \right|

il suffit de calculer l'intégrale qui tend vers 0 quand x tend vers 1 pour avoir le résultat ...

PS : je suis obligé de prendre sa valeur absolue car x peut être inférieur ou supérieur à 1 et donc changer le singe d'icelle ...

PPS : les connaisseurs auront reconnu !!!

Posté par
lakere : Suite implicite pour FerreSucre 18-02-20 à 20:04

Parce que n'est pas au programme au lycée.

Obligation de repasser par la définition du nombre dérivé en a.

Voir par exemple le message de Sylvieg ici à 10h08 Limites trigonométriques

Posté par
carpediemre : Suite implicite pour FerreSucre 18-02-20 à 20:07

lake @ 18-02-2020 à 19:24

Y a-t-il moyen de faire autrement au lycée ?

et
larrech @ 18-02-2020 à 19:39

Pour mon information personnelle, le théorème dit "de la limite de la dérivée"  n'est pas enseigné au lycée ?


mon msg répond à la question :

F(x) = \int_a^x f(t)dt est l'unique primitive de f qui s'annule en a

mais l'IPP ne me semble plus au programme ...

Posté par
lakere : Suite implicite pour FerreSucre 18-02-20 à 20:12

Je me suis trompé avec l'encadrement:

  Pour tout h>0,    h-\dfrac{h^2}{2}\leq \ln(1+h)\leq h-\dfrac{h^2}{2}+\dfrac{h^3}{3}

Posté par
lakere : Suite implicite pour FerreSucre 18-02-20 à 20:15

>>carpediem,

Pour le coup, sur la dérivabilité en 1, je te laisse avec FerreSucre [url][/url]

Posté par
carpediemre : Suite implicite pour FerreSucre 18-02-20 à 20:41

ho j'ai simplement proposé une alternative en utilisant ses joujoux préférés !!!

tu peux toujours rester ...

et de plus j'attends avec impatience et une bière la suite ou une idée pour la 4/ ... car pour l'instant je n'ai aucune idée ... bon faut dire que je n'y ai pas beaucoup réfléchi non plus ...

Posté par
lakere : Suite implicite pour FerreSucre 18-02-20 à 20:52

Pour la 4), je vais être quasiment obligé de tout lâcher d'un coup...

Une petite indication tout de même:

  On utilise le fait que f'(1)=-\dfrac{1}{2}

Posté par
FerreSucrere : Suite implicite pour FerreSucre 18-02-20 à 20:53

carpediem si on pouvait rester niveau Première/Terminale x), parce que le terme « voisinage » m'est très flou .
Elle est complexe la 4)... j'ai essayé de passer par des sommes ect.., mais rien de convaincant. Ça tend vers 0.13...
Je vais réfléchir

Posté par
lakere : Suite implicite pour FerreSucre 18-02-20 à 20:54

Une petite piste au dessus FerreSucre.

Posté par
larrechre : Suite implicite pour FerreSucre 18-02-20 à 20:54

pour la 4/, j'ai ma petite idée, mais comme on ne peut pas blanker, je ne la donnerai pas...

Posté par
lakere : Suite implicite pour FerreSucre 18-02-20 à 20:56

Posté par
larrechre : Suite implicite pour FerreSucre 18-02-20 à 20:57

Le 0,13 n'est pas idiot.

Posté par
lakere : Suite implicite pour FerreSucre 18-02-20 à 20:58

Je dirais même plus: il est quasiment juste

Posté par
larrechre : Suite implicite pour FerreSucre 18-02-20 à 20:59

A quelques décimales près...

Posté par
malou Webmasterre : Suite implicite pour FerreSucre 18-02-20 à 21:21

Citation :
mais l'IPP ne me semble plus au programme ...

non effectivement depuis 2011, mais revient à la rentrée prochaine

Posté par
FerreSucrere : Suite implicite pour FerreSucre 18-02-20 à 21:31

Ah cool malou .
Ah non mais je sais juste que ça tend vers 0.13 à quelques décimales près parcontre la valeur exacte ...
La valeur exacte est bien réelle ? C'est pas un nombre irrationnel comme « e » et pi ?
On cherche pas un encadrement de limite ?

Posté par
lakere : Suite implicite pour FerreSucre 18-02-20 à 21:41

On cherche une valeur « exacte ». Et un réel peut très bien être irrationnel voire transcendant.

FerreSucre, je pense que tu as bien cherché. C'est un petit peu difficile; je crois que tu peux donner « ta langue au chat » (le chat c'est moi et sûrement larrech )

En tout état de cause, tu as eu une excellente réaction: je ne sais pas comment tu es arrivé à une valeur approchée 0.13, mais tu l'as fait. Tu as expérimenté et pour ça je te félicite

Posté par
Ryanprepare : Suite implicite pour FerreSucre 18-02-20 à 21:45

Pour le coup j'ai pas trouvé mais pour ma défense je n'ai pas vraiment cherché je m'arrache les cheveux avec mon dm sur le multinome de Newton

Posté par
lakere : Suite implicite pour FerreSucre 18-02-20 à 21:51

Bonsoir Ryanprepa,

Je n'ai pas suivi ton « multinôme »...
Ici, on arrive à l'épilogue. N'hésites pas à repasser pour regarder une solution de la 4) niveau lycée (ou continue à chercher sans regarder la suite... )

Posté par
Ryanprepare : Suite implicite pour FerreSucre 18-02-20 à 21:53

Ah c'est parce que je ne l'ai pas posté sur le site question de fierté j'ai bientôt terminé l'interminable récurrence.

Ça marche j'ai déjà deux ou trois idée je les approfondirai et je vous tient au courant.

Bonne soirée.

Posté par
vhamre : Suite implicite pour FerreSucre 18-02-20 à 22:06

Bonsoir,
Pour la 4) un carré de quelque chose bien connu, convergence très lente, c'est ce que donne  l'expérimentation ...

Posté par
FerreSucrere : Suite implicite pour FerreSucre 18-02-20 à 22:13

J'ai pas réellement chercher à fond encore je vais réfléchir se soir et la réponse vous la metterez demain merci

Posté par
lakere : Suite implicite pour FerreSucre 18-02-20 à 22:17

D'accord FerreSucre

Posté par
FerreSucrere : Suite implicite pour FerreSucre 18-02-20 à 22:23

Je crois que la limite est 1/e²

Posté par
lakere : Suite implicite pour FerreSucre 18-02-20 à 22:32



L'expérimentation, c'est tout de même une bonne chose!

Mais pour l'instant tu en es au stade de la conjecture.

Pour ma part, la suite à demain.

Bonne nuit!

Posté par
FerreSucrere : Suite implicite pour FerreSucre 19-02-20 à 00:59

Bon bah ducoup je suis parti d'une base :

\dfrac{lnU_n}{U_n-1} = 1+\dfrac{1}{n}

U_n = e^{(1+\dfrac{1}{n})(U_n-1)}

U_n^n = e^{(1+\dfrac{1}{n})(U_n-1)n}

U_n^n = e^{(n+1)(U_n-1)}

D'après ma conjecture :

\lim_{n\to + \infty}(n+1)(U_n-1) = -2

Après faut le démontrer et ça c'est autre chose...

Posté par
FerreSucrere : Suite implicite pour FerreSucre 19-02-20 à 01:56

J'ai une théorie farfelue, ça doit bien exister, ma théorie est de prendre une fonction dont g(U_n) = 1+1/n

Et qui va venir tendre de la même façon vers 1 comme f(U_n) quand n va vers +oo.

g(x) = \dfrac{1}{2x}+0,5

\dfrac{1}{2x}+0,5 = 1+1/n

1+x = (1+1/n)2x

1+ x = 2x+\dfrac{2x}{n}

1 = \dfrac{xn + 2x}{n}

n = (n+2)x

\dfrac{n}{n+2} = x

On note \dfrac{n}{n+2} = U_n
Ainsi comme elle tendrait plus ou moins de la même façon que f(x) on aurait :

\lim_{n\to +\infty}(n+1)(U_n-1)

= \lim_{n\to +\infty}(n+1)(\dfrac{n}{n+2}-1)

= \lim_{n\to +\infty}(n+1)(\dfrac{-2}{n+2})

= \lim_{n\to +\infty}\dfrac{-2n-2}{n+2} = -2

Ainsi :

U_n^n = e^{-2}

C'est complètement tordu mais là j'ai pas d'idée

Même que :

\lim_{n\to +\infty}\left(\dfrac{n}{n+2}\right)^n = \dfrac{1}{e²}

Étonnant... (c'est faux comme proposition je le sais bien mdr mais je me disais que ce genre de technique devait exister non ?)

Posté par
FerreSucrere : Suite implicite pour FerreSucre 19-02-20 à 01:59

Je précise :
g(U_n) et f(U_n)

Les deux U_n ne sont pas égal mais il tendent de la même façon vers n +oo (vers la fin).

Posté par
FerreSucrere : Suite implicite pour FerreSucre 19-02-20 à 02:01

Le pire dans tout ça c'est que j'ai pris Geogebra, j'ai mis f(x) et j'ai cherché 1 min une fonction... g(x) = (1/2x)+0,5.
Je me suis dit bon pourquoi pas on va essayer .

Posté par
FerreSucrere : Suite implicite pour FerreSucre 19-02-20 à 02:15

Hmm attend je vais peut-être dire n'importe quoi mais, le nombre dérivée en 1 est -0,5
Et la T_1 = -0,5x + 0.5

Si on prend :
-0,5x + 0,5 = 1 + 1/n

Ça fonctionne aussi, je l'impression que c'est le degré de pente à la limite qui doit-être le même, soit f'(1) = -0,5.
Ma première fonction aurait eu aussi g(1) = -0,5.
Étonnant encore plus,

Posté par
FerreSucrere : Suite implicite pour FerreSucre 19-02-20 à 02:16

Ducoup il aurait fallu prendre la tangente en 1 de f au lieu de ma fonction .

Posté par
FerreSucrere : Suite implicite pour FerreSucre 19-02-20 à 02:23

Ça semble plutôt logique en même temps quand on y pense, ça reste un coup de bol pour 1/2x + 0,5, mais pour la tangente c'est pas si bête que ça.

Posté par
FerreSucrere : Suite implicite pour FerreSucre 19-02-20 à 02:36

Pardon erreur, la tangente est
\dfrac{-1}{2}x+1.5

Ainsi on a :

U_n^n = (\dfrac{n-2}{n})^n

\lim_{n\to +\infty}(\dfrac{n-2}{n})^n = \dfrac{1}{e²}

Je pense que ça peut que être ça la technique pour la limite.

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