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Niveau terminale
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Suite implicite pour FerreSucre

Posté par
lake 17-02-20 à 15:36

Bonjour,

Un exercice donné en Terminale au Maroc:

  Soit f la fonction définie sur ]0,+\infty[ par:

\begin{cases}f(x)=\dfrac{\ln\,x}{x-1}\text{   si }x\not=1\\f(1)=1\end{cases}

  1) Étudier la fonction f (limites, continuité, dérivabilité, variations...).

  2) Montrer qu'il existe un réel u_n\in ]0,1] tel que f(u_n)=1+\dfrac{1}{n}

  3) Étudier la suite (u_n) (variations, convergence, limite éventuelle...).

  4) Calculer \lim\limits_{n\to +\infty}u_n^n

>>Ferresucre:

   Exceptionnellement, pour la dérivabilité en 1 (qu'il faut examiner!) et pour éviter des complications pénibles à ton niveau, tu es autorisé à utiliser la règle de L'Hôpital.

   La question 4) est difficile mais se résout dans le cadre du programme lycée.

Il n'y aura pas d'autres interventions de ma part sur ce sujet aujourd'hui: il faut que tu prennes le temps de chercher...

Posté par
lakere : Suite implicite pour FerreSucre 17-02-20 à 16:45

Un oubli de taille: n\in\mathbb{N}^*.

Posté par
FerreSucrere : Suite implicite pour FerreSucre 17-02-20 à 18:39

Merci lake je vais y réfléchir se soir

Posté par
lakere : Suite implicite pour FerreSucre 17-02-20 à 19:10

Juste un tout petit commentaire:

1),2), et 3) sont là pour préparer 4) qui est le « crux » de l'affaire. Je crois que tu connais l'expression maintenant

Très honnêtement, je pense que 4) présenté ici sans question(s) intermédiaire(s) est très difficile en Terminale.

Ramanujan DEMANDES EXERCICES 4 POUR Ryanprepa pourra nous dire ce qu'il en pense s'il passe par ici...

Posté par
Ryanprepare : Suite implicite pour FerreSucre 17-02-20 à 19:20

Ça dépend lake il est encore possible de trouver une solution évidente  comme la suite auxiliaire ou bien c'est un de tes exercices dont la solution est tirée par les cheveux

Posté par
lakere : Suite implicite pour FerreSucre 17-02-20 à 19:28

Bonsoir Ryanprepa,

Je suis heureux que tu passes par ici. Cet exercice est fait pour toi.
Rien de « capillotracté » mais difficile pour avoir les bonnes idées en 4)...
S'il te plaît, dans un premier temps, laisse FerreSucre cogiter avant d'intervenir ici.
Merci d'avance

Posté par
Ryanprepare : Suite implicite pour FerreSucre 17-02-20 à 19:36

D'accord ça marche je vais cogiter sur la 4  dans mon coins

Posté par
lakere : Suite implicite pour FerreSucre 17-02-20 à 19:38

Posté par
FerreSucrere : Suite implicite pour FerreSucre 18-02-20 à 00:01

Bon pour commencer :

Question 1 :

f est défini sur ]0 ; +\infty[ :

Et est dérivable sur ce même intervalle.

f'(x) = \dfrac{\dfrac{x-1}{x}-lnx}{(1-x)² }

f'(x) = \dfrac{\dfrac{x-1-xlnx}{x}}{(1-x)² }

f'(x) = \dfrac{x-1-xlnx}{x(1-x)² }

f'(x) = \dfrac{x(1-1/x - lnx)}{x(1-x)²}

Étudions le signe de :

g(x) = (1-1/x-lnx)     \forall{x}\in ]0 ; + \infty[

1-1/x - lnx = 0 \iff x = 1

On dérive donc cela va nous indiquer si il y a une seule solution à = 0.
Et donnera les variations.
Donc :

g'(x) = \dfrac{1-x}{x²}
1-x > 0 \iff x < 1

On a :

\begin{array} {|c|cccccc|} x & 0 & & 1 & & +\infty & \\ {\frac{d}{dx}g} & & + & 0 & - & & \\ {g} & & \nearrow & ^{0} & \searrow & & \end{array}

Donc g(x) < 0 Sur ]0 ;+\infty
Soit :

f'(x) = \dfrac{x(1-1/x - lnx)}{x(1-x)²}< 0  Sur ]0 ; +\infty[

Donc :

Et les limites aux bornes sont :

\lim_{x\to 0}\dfrac{lnx}{x-1} = \lim_{x\to 0}\dfrac{1}{x} = +\infty

Et :

\lim_{x\to +\infty}\dfrac{lnx}{x-1} = \lim_{x\to +\infty}\dfrac{1}{x} = 0


Ainsi nous obtenons donc le tableau de variation :

\begin{array} {|c|cccccc|} x & 0 & & +\infty & \\ {\frac{d}{dx}f} & & - & & \\ {f} &^{+\infty} & \searrow &_{0}& \end{array}

Donc : \forall{x} \in ]0;+\infty[ \Rightarrow f(x) > 0

On en sait donc beaucoup plus sur cette fonction.

Posté par
FerreSucrere : Suite implicite pour FerreSucre 18-02-20 à 00:35

Question 2 :

D'après le tableau de variation et de signe,
f(x) > 0 \forall{x} \in ]0;+\inf[, et f est décroissante de +\infty à 0.

h(n) = 1+\dfrac{1}{n} ,  \forall{n}\in \N^{*}

Est donc une droite parallèle à l'axe des abscisses, Et h(n) \in ]1;2]
Car :

\lim_{n\to 1}1+\dfrac{1}{n} = 2
\lim_{n\to +\infty}1+\dfrac{1}{n} = 1

Par conséquent :

f(x) \in ]0;+\infty[
h(n) \in]1;2]

Et U_n \in ]0;1] car :

f(1) = 1
f(0) = +\infty

Et h(n) \in ]1;2] et f est décroissante.

On peut donc conclure que :

\exists{U_n} tel que f(U_n) = 1+\dfrac{1}{n}, \forall{U_n}\in ]0;1]

On peut même dire qu'il existe une seule et unique valeur car f est décroissante et va donc couper 1 seule fois la droite C_h.

Posté par
FerreSucrere : Suite implicite pour FerreSucre 18-02-20 à 00:40

Grosse erreur de ma part c'est :

h(x) = 1+\dfrac{1}{n}, comme ça on comprend que n est une constante.

Posté par
FerreSucrere : Suite implicite pour FerreSucre 18-02-20 à 00:53

La question 3 va être complexe à expliquer déjà que j'ai du mal là, à faire des explications compréhensibles.

Question 3 :

f est décroissante sur ]0;+\infty[ et h(n) (la droite) l'est aussi, par conséquent, la suite U_n est croissante.

On a:

\dfrac{lnx}{x-1} = 1+\dfrac{1}{n}

Cette fois-ci c'est h(n), h est décroissante avec n \in N^{*}.
Les valeurs quand n grandi sont de plus en plus petites, or il faut que f(x) soit de plus en plus petit aussi et f est décroissante donc U_n doit augmenter.
(Pas très clair je sais, logique mais mal expliqué). Donc la suite U_n est croissante.
Pour résumer :

f \searrow, et h\searrow donc U_n \nearrow.

On comprends où je veux en venir mdr ? C'est logique mais bon. Compliqué de se faire comprendre.

Limite de Un :

\lim_{n\to \infty}h(n) = 1

Donx resolvons :

f(x) = 1

\dfrac{lnx}{x-1} = 1

Or f(1) = 1 donc :

U_n \nearrow et \lim_{n\to +\infty}U_n = 1

Posté par
FerreSucrere : Suite implicite pour FerreSucre 18-02-20 à 01:03

Question 4

Je dois avouer que la dernière j'en suis pas sûr mais je dirai :

\lim_{n\to +\infty}U_n = 1

Ce pendant U_n tend vers 1 en plus l'infini mais n'est pas égal à 1 donc :
U_n \in ]0;1[
Et donc 0< U_n < 1

Et donc \lim_{n\to +\infty}U_n^n = 0

Je dois t'avouer que j'en suis pas sûr sûr.

Petite question, U_n n'est jamais égal à 1 donc U_n \in ]0;1[ et non U_n \in ]0;1] ?

Posté par
FerreSucrere : Suite implicite pour FerreSucre 18-02-20 à 01:08

Y'a juste c'est histoire de h(n) ou h(x), h(x) est sensé être une droite et h(n) une fonction.
Je me suis trompé defois sur la notation faut faire attention ducoup

Posté par
FerreSucrere : Suite implicite pour FerreSucre 18-02-20 à 01:13

Ici par exemple c'est la fonction pas la droite :

Citation :
Question 3 :

f est décroissante sur ]0;+\infty[ et h(n) (la fonction) l'est aussi, par conséquent, la suite U_n est croissante.

Posté par
lakere : Suite implicite pour FerreSucre 18-02-20 à 08:44

Bonjour FerreSucre,

  Je viens d'aller voir ton autre topic sur les intégrales. Je crois que tu es en train de partir en vrille...
  Faire des Mathématiques ne consiste pas à aligner des lignes de calculs d'autant plus quand on  ne domine pas la théorie qui permet de les écrire.
  Et ce topic confirme ce que je pense: au lieu de te disperser dans du hors programme que tu es très loin de maitriser, tu ferais mieux de te concentrer sur ce que tu fais en ce moment en cours; ce post confirme que tu as des lacunes au niveau 1ère. Pour ma part, je regrette de t'avoir encouragé dans tes digressions; je ne pense pas t'avoir rendu service et ça ne se produira plus.

  Ici même, tout est à reprendre et il y a du travail.

Un prochain message en commençant par la question 1)  va suivre...

Posté par
lakere : Suite implicite pour FerreSucre 18-02-20 à 09:01

1)  

Citation :
f est défini sur ]0 ; +\infty[


Oui, c'est l'énoncé.

Citation :
Et est dérivable sur ce même intervalle.


  Ça, tu l'assènes sans preuve et tu n'en sais rien du tout pour l'instant.

Il y a un problème en 1 et la première chose à laquelle il aurait fallu penser est la continuité en 1.

  Mais si on démontre que f est dérivable en 1, la continuité en 1 sera assurée.

f est  dérivable (donc continue) sur ]0,1[\cup ]1,+\infty[ comme rapport de fonctions dérivables sur cet intervalle (le dénominateur ne s'annule pas).

  Il reste à étudier la dérivabilité en 1. A toi de le faire.

Posté par
malou Webmasterre : Suite implicite pour FerreSucre 18-02-20 à 09:10

Bonjour lake,
Je te rejoins...il y a quelques temps, j'avais dit à FerreSucre qu'il était plus difficile de redresser un arbre que de le faire pousser droit...mais...
J'ai été fort déçue de la manière dont il a traité l'intégration de la fonction \tan qui ne demandait en aucun cas un changement de variable...(qu'il disait maîtriser)
La question 1) ici est très significative.

Posté par
lakere : Suite implicite pour FerreSucre 18-02-20 à 09:14

Bonjour malou

Oui et je suis en partie coupable: je me suis laissé embarquer là où je n'aurais jamais du mettre les pieds

Posté par
malou Webmasterre : Suite implicite pour FerreSucre 18-02-20 à 09:23

@ lake
oui et non...
nous l'avons déjà fait pour d'autres qui ne sont pas partis en vrille pour autant...de mémoire Ryanprepa est arrivé chez nous un mois de juillet entre sa 1re et sa terminale et avait soif d'apprendre...nous l'avons alimenté toutes les vacances sans que cela dérape, parce qu'il a écouté nos mises en garde...et nos engueulades comme il dit lui-même....mais l'un n'est pas l'autre

Posté par
FerreSucrere : Suite implicite pour FerreSucre 18-02-20 à 09:40

Ah f est continue en 1
Car f(1) = 1 et \lim_{x\to 1} = 1.

Posté par
lakere : Suite implicite pour FerreSucre 18-02-20 à 09:43

Citation :
Car f(1) = 1 et {\red \lim_{x\to 1}f(x) = 1}


Encore faut-il prouver ce qui est en rouge.

Posté par
lakere : Suite implicite pour FerreSucre 18-02-20 à 09:43

et pas par l'Hôpital!

Posté par
FerreSucrere : Suite implicite pour FerreSucre 18-02-20 à 09:45

Et puis mon autre topic sur les intégrales j'ai juste trouvé la technique intéressantes, j'ai le droit quand même il me semble...
J'ai pas dis que je l'utilisais.

Parcontre malgré la continuité qui est un peu bancale certes, le reste est mal expliqué j'en suis conscient, mais n'est pas totalement faux?

Posté par
FerreSucrere : Suite implicite pour FerreSucre 18-02-20 à 09:53

L'hôpital peut être utilisé ici ?

f(x) = lnx
g(x) = x-1


\lim_{x\to 1}\dfrac{lnx}{x-1} = \lim_{x\to 1}(\dfrac{\dfrac{f(x)-f(1}{x-1}}{\dfrac{g(x)-g(1)}{x-1}

\lim_{x\to 1}\dfrac{1}{x} = 1

C'est pas autorisé ?

Posté par
FerreSucrere : Suite implicite pour FerreSucre 18-02-20 à 09:54

Ce qu'il y a dans l'erreur latex.

\lim_{x\to 1}\dfrac{lnx}{x-1} = \lim_{x\to 1}\dfrac{\dfrac{f(x)-f(1}{x-1}}{\dfrac{g(x)-g(1)}{x-1}}

Posté par
FerreSucrere : Suite implicite pour FerreSucre 18-02-20 à 09:58

Sinon on peut :
X = lnx
\lim_{x\to 0}\dfrac{x}{e^x-1}

Qui est connu il me semble.

Posté par
carpediemre : Suite implicite pour FerreSucre 18-02-20 à 10:06

salut

à nouveau un résultat de base de première (le taux de variation ou d'accroissement) permet de justifier la continuité en 1 ...

Posté par
lakere : Suite implicite pour FerreSucre 18-02-20 à 10:07

Ce que tu écris n'est pas tout à fait L'Hôpital et pourrait convenir: le rapport de la limite de 2 taux de variation.

Mais tout de même, il est beaucoup plus simple d'écrire:

Soit h la fonction logarithme népérien:

   f(x)=\dfrac{h(x)-h(1)}{x-1} est le taux de variation de la fonction h (logarithme) en 1. h est dérivable en 1 et h'(1)=1

d' où \lim\limits_{x\to 1}f(x)=\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{\ln(x)-\ln\,1}{x-1}=h'(1)=1=f(1)

  Donc f est continue en 1

Maintenant, la dérivabilité en 1; c'est le seul endroit dans cet exercice où tu es autorisé (pour des raisons techniques) à utiliser la règle de L'Hôpital.

Posté par
FerreSucrere : Suite implicite pour FerreSucre 18-02-20 à 10:10

Je tiens à dire que c'est sûr que c'est pas en disant

Citation :
  Je crois que tu es en train de partir en vrille...    


Que je risque de m'améliorer mdr... On peut pas juste me dire mes erreurs, que je les corriges ? Les commentaires viendront après si possible.
Je pense que tout le monde a commencé en faisant des erreurs, des oublis, ect...

Posté par
FerreSucrere : Suite implicite pour FerreSucre 18-02-20 à 10:13

Je comprends plus rien mdr :

Citation :
Maintenant, la dérivabilité en 1; c'est le seul endroit dans cet exercice où tu es autorisé (pour des raisons techniques) à utiliser la règle de L'Hôpital.


Citation :
. et pas par l'Hôpital!


Ah j'avais pas vue en faisant l'exercice que c'est autorisé que pour la limite en 1 excuse je refais ducoup.

Posté par
carpediemre : Suite implicite pour FerreSucre 18-02-20 à 10:37

voir Limite exercice

le but d'un exercice n'est pas de faire un exercice mais d'en tirer quelque chose, se faire une expérience ... c'est cela le véritable apprentissage

Posté par
FerreSucrere : Suite implicite pour FerreSucre 18-02-20 à 10:54

Dejà en 0 :

\lim_{x\to 0}\dfrac{lnx}{x-1} = +\infty

Et n'est pas indéterminé.
Maintenant :

\lim_{x\to +\infty}\dfrac{lnx}{x-1}

f(x) = lnx - \sqrt{x-1}

f'(x) = \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{2\sqrt{x-1}} =\dfrac{2\sqrt{x-1} - x}{2x\sqrt{x-1}}

x est toujours supérieur à 1, donc
Le dénominateur est strictement positif.
2\sqrt{x-1} - x > 0
-x²+4x-4 > 0

On résout delta,  \Delta = 0
Donc :

2\sqrt{x-1} - x < 0 (toujours inférieur à 0)

\begin{array} {|c|cccccc|} x & 1 & &  & & +\infty & \\ {signe} & & & - &  & & \\ {f} & & ^{0}\searrow & & & \end{array}

lnx - \sqrt{x-1} < 0
lnx < \sqrt{x-1}
lnx < \dfrac{x-1}{\sqrt{x-1}}
\dfrac{lnx}{x-1} < \dfrac{1}{\sqrt{x-1}}

\lim_{x\to +\infty}\dfrac{1}{\sqrt{x-1}} = 0

Donc \lim_{x\to +\infty}\dfrac{lnx}{x-1} < 0

Or en \lim_{x\to +\infty}\dfrac{lnx}{x-1} > 0

Gendarmes, \lim_{x\to +\infty}\dfrac{lnx}{x-1} = 0

Voilà.

Posté par
FerreSucrere : Suite implicite pour FerreSucre 18-02-20 à 10:55

T'inquiètes carpediem j'ai bien retenu ta technique.

Posté par
lakere : Suite implicite pour FerreSucre 18-02-20 à 11:05

Oui pour la limite en 0: le numérateur tend vers - \infty et le dénominateur vers -1 d'où le résultat.

En +\infty, c'est trop compliqué:

f(x)=\dfrac{\ln\,x}{x}\,\,\dfrac{x}{x-1}

Le cours indique que \lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{\ln\,x}{x}=0

De plus \lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{x}{x-1}=1

Par produit, \lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=0

Il reste la dérivabilité en 1

Posté par
FerreSucrere : Suite implicite pour FerreSucre 18-02-20 à 11:11

Bah si f est continue en 1, elle est dérivable en 1 ? Non ?

Posté par
lakere : Suite implicite pour FerreSucre 18-02-20 à 11:14

Ah non!

Si elle est dérivable en 1, alors elle est continue en 1.

Mais la réciproque est fausse. Il faut faire l'étude de la dérivabilité en 1. Taux de variation... limite avec (quel bonheur!) L'Hôpital...

Posté par
malou Webmasterre : Suite implicite pour FerreSucre 18-02-20 à 11:16

FerreSucre @ 18-02-2020 à 11:11

Bah si f est continue en 1, elle est dérivable en 1 ? Non ?


que veut dire continue sur un dessin ? que veut dire dérivable sur un dessin ?

Posté par
lakere : Suite implicite pour FerreSucre 18-02-20 à 11:16

Un exemple:

La fonction x\mapsto |x| est continue en 0 mais pas dérivable en 0.

Posté par
FerreSucrere : Suite implicite pour FerreSucre 18-02-20 à 11:30

Ah, donc pour démontrer qu'elle est dérivable en 1, il faut faire quoi ? Ça :

\lim_{x\to 1} \dfrac{x(1-1/x - lnx)}{x(1-x)²}

\lim_{x\to 1} \dfrac{x-1 - xlnx}{x^3-2x²+x}

On peut faire apparaître le taux d'accroissement en haut et en bas avec :
p(x) = x-1-xlnx
j(x) = x^3-2x²+x

Ainsi p'(x) = -lnx
j'(x) = 3x²-4x + 1
\lim_{x\to 1}\dfrac{-lnx}{3x²-4x+1} = 0

(Je sais pas si c'est ça qu'il fait faire)

Posté par
lakere : Suite implicite pour FerreSucre 18-02-20 à 11:35

Non, là tu essaies de calculer la limite de la fonction dérivée.

Il faut revenir à la définition du nombre dérivé en 1. C'est la limite (quand elle existe) du taux de variation en 1.

Autrement dit, tu dois déterminer la limite suivante:

  \lim\limits_{x\to 1}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}

Posté par
FerreSucrere : Suite implicite pour FerreSucre 18-02-20 à 11:37

et dobc il existerait un réel « L » tel que
\lim_{x\to 1}f'(x) = L

Posté par
FerreSucrere : Suite implicite pour FerreSucre 18-02-20 à 11:41

Ah d'accord ok

Posté par
FerreSucrere : Suite implicite pour FerreSucre 18-02-20 à 11:47

On ça fait au final :

\lim_{x\to 1}\dfrac{lnx-x+1}{(x²-2x+1)}

On pose :
k(x) = lnx-x + 1
j(x) = x²-2x+1

\lim_{x\to 1}\dfrac{\dfrac{k(x)-k(1)}{x-1}}{\dfrac{j(x)-j(1)}{x-1}}

\lim_{x\to 1}\dfrac{k'(x)}{j'(x)}

\lim_{x\to 1}\dfrac{\dfrac{1}{x}-1}{2x-2}

On peut encore dérivée au dessus et en dessous :

\lim_{x\to 1}\dfrac{\dfrac{k'(x)-k'(1)}{x-1}}{\dfrac{j'(x)-j'(1)}{x-1}}

=\lim_{x\to 1}\dfrac{k''(x)}{j''(x)} = \lim_{x\to 1}\dfrac{-1/x²}{2} = \dfrac{-1}{2}

Ainsi il existe un réel L tel que :

\lim_{x\to 1}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1} = L

C'est ça ?

Posté par
FerreSucrere : Suite implicite pour FerreSucre 18-02-20 à 11:52

D'ailleurs je me suis trompé ici :

Citation :
\lim_{x\to 1}\dfrac{-lnx}{3x²-4x+1} = -0,5 et non 0    

Posté par
FerreSucrere : Suite implicite pour FerreSucre 18-02-20 à 11:59

Au niveau de la question 1, on est bon ducoup, ça répond à la question avec ce que j'avais fais ?
On passe à la question 2  ?

Posté par
lakere : Suite implicite pour FerreSucre 18-02-20 à 12:01

Oui, c'est du L'Hôpital sans le dire.

En conclusion, f est dérivable en 1 et \boxed{f'(1)=-\dfrac{1}{2}}

Ton calcul  de dérivée est correct mais je me serais arrêté à:

  

Citation :
f'(x) = \dfrac{x-1-xlnx}{x(1-x)² }


Inutile de factoriser x au numérateur et j'aurais de la même manière que toi étudié le signe de g(x)=x-1-x\,\ln\,x sur ]0,+\infty[

  Bref, g(x) <0 et f'(x)<0 sur ]0,+\infty[ si bien que f est strictement décroissante sur cet intervalle.

  Les limites en 0 et en +\infty permettent d'affirmer que l'axe des ordonnées est asymptote verticale à \mathbb{C}_f et que l'axe des abscisses est asymptote horizontale en +\infty à \mathbb{C}_f .

Ce qui donne ceci (j'ai dessiné la tangente de pente f'(1)=-\dfrac{1}{2} au point A(1,1)):

Suite implicite pour FerreSucre

Petite pause avant de revoir 2)

Posté par
FerreSucrere : Suite implicite pour FerreSucre 18-02-20 à 12:09

Oui j'ai regardé les graphes aussi,
Petite question si en faisant la dérivée on tombait sur L = +\infty
ducoup f ne serait pas dérivable en 1 ?
Comme racine de x ?
L'infini est considéré comme un réel ou pas ?

Posté par
lakere : Suite implicite pour FerreSucre 18-02-20 à 12:12

Citation :
Petite question si en faisant la dérivée on tombait sur L = +\infty


Tu t'es trompé; la limite de la fonction dérivée en 1 est bel et bien -\dfrac{1}{2}

Posté par
lakere : Suite implicite pour FerreSucre 18-02-20 à 12:20

Je crois que je n'avais pas compris ta question.

Si on tombe sur une limite infinie pour le taux de variation en a, la fonction n'est pas dérivable en a

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