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Topologie:Suite
Je me permets d'ouvrir la suite vu que l'autre topic a été fermé.
Donc je disais otto tu en connais un autre de théoreme de point fixe de Banach?
Celui-ci n'est il pas celui de Picard?
A moins que ce soit un seul et même théorème, auquel cas je confondais celui de Banach avec un autre, dont je n'ai de toute facon, plus l'énoncé en tête 
a+
Y'a celui de Shauder qui est sympa:
http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_du_point_fixe_de_Schauder
C'est peut être celui auquel je pensais.
Schauder est visiblement utile en équations différentielles d'après le lien wiki que j'ai donné.
Pour Brouwer je n'ai pas vu (de mémoire) d'application concrete, mais c'est un des points culminant de tout cours de topologie algébrique ou de géométrie différentielle qui se repsecte.
Les maths pour les maths, c'est intéressant aussi 
Une application de Brouwer :
Soit x --> v(x) un champ de vecteurs continue sur B (boule unité fermée ) supposé rentrant dans la sphère ( i.e le produit scalaire x.v(x) est strictement négatif pour tout x S ). Montrer que v s'annule en au moins un point de la boule B.
Bien sur mais il pourrait etre utilisé dans d'autres démonstrations comme celui de Banach pour les fonctions implicites par exemple.
Bonjour redirigé ici par Cauchy sur ce post, suite à mes lacunes de topo,
j'ai parcouru un peu tout ce qui a été dit, et je propose une réponse pour l une des premières questions posées :
"la distance n'induit pas forcément une norme"
On peut prendre l'espace vectoriel R, et considérer la distance
Supposons que l'on puisse y déduire une norme N : R --> R, on aurait alors :
quand
mais on aurait aussi ,
ce qui est contradictoire.
Bonjour à tous,j'ai lu un peu les différents point abordés,étant en révision pour mon ds de topo,je me suis dis que d'aller voir les questions de Rouliane ne serait pas du tout inutile et effectivement...je me demandais si on pouvais avoir la démonstration de l'adhérence de la boule unité est la boule fermé...
Merci d'avance de vos réponses.
ok bah a vrai dire je suis passé a autre chose parce que la j'ai posté une question sur la distance ultramétrique et j'attends depuis 15h35...donc j'ai fait autre chose,toujours de la topologie bien sur
Pour Rouliane au cas ou ça l'interresse j'ai fait ça c'est pas mal:
distance usuelle et distance discrete ne sont pas équivalentes.
d(Adh(A),Adh(B))=d(A,B),d(x,Adh(A))=d(x,A)
Il n'y a pas vraiment de difficulté...
Vous la voulez la démo de l'adhérence de la boule unité est la boule fermée dans un evn ou c'est bon?
On l'avait faite avec Rouliane dans l'autre fil.
euhh Cauchy,moi je veux bien si tu as le temps,elle est ou dans l'autre fil? je crois pas l'avoir vu...
Bonjour à tous
Cauchy étant déconnecté, je me permets de répondre.
Soit B la boule unité ouverte et B' la boule unité fermée.
Comme B' est fermée, alors l'adhérence de B est contenue dans B'.
Réciproquement, soit x un élément de B'.
alors x est soit de norme strictement inférieur à 1 soit de norme égale à 1.
Si x est de norme strictement inférieur à 1, alors il n'y rien à dire car x est dans B donc dans l'adhérence de B.
supposons donc x de norme 1.
Pour n un entier non nul, posons , alors
, donc pour tout n ,
est dans B.
De plus, on a clairement que tend vers x donc x est limite d'une suite d'éléments de B donc x est dans l'adhérence de B, d'où le résultat.
Kaiser
ahh ok d'accord.
Sinon si ça interresse quelques personnes,j'aimerais que l'on réponde à certaines questions que je me pose:
1)comment montre t-on que la topologie sur R pour la distance usuelle et la distance d(x,y)=|arctan(x)-arctan(y)| est la meme mais que la suite Un=n est de cauchy pour cette derniere distance mais pas pour la disatnce usuelle(pour la distance usuelle,ça se voit parce que Un ne converge pas...et n'est pas borné sauf erreur.)
2)Comment montrer que C([0,1]) est complet pour
||f||c=sup|f(x)|+sup|f'(x)| pour x dans [0,1]
Merci d'avance de vos réponses.
Pour montrer que ca définit la même topologie tu peux montrer que les distances définissent les mêmes ouverts ou alors montrer que l'identité:
est un homéomorphisme.
Pour montrer que ta suite est de Cauchy pour d on a:
0 quand p et q tendent vers l'infini vu que arctan admet une limite en l'infini.
Par exemple tu prends une boule ouverte pour d,regarde si tu peux l'inclure dans une boule ouverte pour |.|.
Pour ton exo 2),prend une suite de Cauchy on a pas trop le choix,mais fait une recherche je suis pas certain que c'est exactement le meme mais il me semble que kaiser l'a traité avec Rouliane.
merci pour le lien Cauchy,par contre j'arrive pas à montrer qu'une boule ouverte pour d est incluse dans une boule ouverte de |.|
Voila ce que je fais:
il existe r>0 tel que pour tout x,y dans R: B(x,r) est une boule ouverte cad pour tout y dans la boule: d(x,y)<r soit:
|arctan(x)-arctan(y)|<r aprés bah je suis bloqué.
donc si on aune boule ouverte pour |.| on a pour tout y dans B(x,r) (ou r>0) alors:
|x-y|<r or |arctan(x)-arctan(y)|<=|x-y|<r donc y est dans la boule B(x,r) pour d aussi...c'était pas l'inverse qu'il fallait montrer?
ahh ok bon bah c'est super cool alors!!
Merci Cauchy.
Si j'ai d'autres questions de topo,je continuerais ici
arf c'est la que ça colle plus!!
j'arrive pas partant d'une boule pour d a montrer qu'elle est incluse dans une boule pour |.|...
On a montré que B(x,r) incluse dans Bd(x,r).
Maintenant on prend Bd(x,r) et y tel que |arctan(x)-arctan(y)|<r et il faut trouver r' tel que |x-y|<r'.
tan est continue en arctan(x) on a donc:
Donc en posant: on obtient:
Bon c'est peut etre truffé de fautes je vais voir le match
bon et bien ok,c'est un peu futé comme truc,mais je pense que c'est pas faux alors j'ajoute ça à mon cours comme exemple!
Merci Cauchy!
Moi je galère sur cet exo :
Soient E un espace vectoriel sur K, N et N' deux normes sur E.
Montrer que si N et N' définissent la même topologie, alors N et N' sont équivalentes.
ah bien tiens donc,moi qui croyais que c'était sensiblement la meme chose!!
que faut-il vérifier? peut etre qu'il définisse les meme ouverts et les meme fermés??
robby
si N et N' définissent la même topologie, cela signifie que N et N' définissent les mêmes ouverts et du coup les mêmes fermés.
Donc à partir de cette hypothèse il faut montrer que N et N' sont équivalentes.
Bonsoir
robby > ça ne veut pas dire ça.
ça veut dire qu'un ouvert de l'une des deux topologies est un ouvert de l'autre et vice versa.
Autrement dit, si U est un ouvert de la topologie de la norme N, alors U contient une boule ouverte pour la norme N'.
Kaiser
oui je pense que:
pour un y fixé on a
pour tout x tel que N(x-y)<r, il existe un réel r'>0 tel que N'(x-y)<r'.
B la boule unité ouverte de N.
Comme N et N' définissent la même topologie alors B est aussi un ouvert pour N' et donc contient une boule fermée de rayon r > 0.
Ainsi, pour tout x tel que , on a
Pour x non nul, considérer le vecteur et ensuite conclure.
Kaiser
Salut Kaiser,excuse moi mais je comprend pas pourquoi " et donc contient une boule fermé"...
aprés je vois pas non plus
merci de ton aide.
OK !
B est ouvert pour N donc B est un ouvert pour N' car N et N' définissent la même topologie.
Or 0 est dans B donc par définition d'un ouvert pour N', il existe un réel r > 0 tel que la boule fermée (relativement à N') de centre 0 et de rayon r est incluse dans B.
Jusqu'ici c'est bon ?
Kaiser
euhh non,jusqu'ici c'est pas bon lol...
Or O est dans B,ok mais "par définition d'un ouvert pour N',il existe r>0 tel que la boule ferméde centre O et de rayon r est incluse dans B...
Pour moi un truc est ouvert s'il y aune boule ouverte contenu dans ce truc et pas une boule fermé.
oui mais c'est équivalent : si ça contient une boule fermée de rayon non nul, ça contient une boule ouverte et réciproquement.
En effet, si ça contient un boule fermée de rayon r, alors ça contient une boule ouverte de rayon r (car la boule ouverte est incluse dans la boule fermée) et si ça contient une boule ouverte de rayon r alors ça contient une boule fermée de rayon r/2.
et maintenant ?
Kaiser
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