Bonjour

Oui, bien sur! Si tu as un ensemble E, tu peux considérer l'ensemble des parties de E. Alors . Tu peux aussi dire que [0,1] est un élément de l'ensemble des intervalles fermés de ... et ainsi de suite...

Le seul danger est de confondre l'inclusion et l'appartenance. On a et

PS Pourquoi avoir mis ce topic dans cette rubrique?

Bonjour,
(Tout d'abord, merci pour la rapidité de la réponse.)
Étrange, mon professeur me garantit qu'un ensemble ne peut pas être élément d'un autre ensemble, et que cet ensemble ne peut-être par conséquent qu'inclus dans un autre (mais jamais appartenant à un autre). A qui dois-je me fier ? Surtout que vous n'êtes pas le premier à dire la même chose sur Internet.

PS(1) : Si j'ai mis ceci dans la rubrique Autre, c'est parce que ce n'est pas scolaire mais uniquement personnel. Je dois tout de même avouer que si j'ai mis logiciel, c'est bien parce que je ne trouvais pas "théorie des ensembles" et donc ne savait pas quoi mettre.

PS(2) : Vous soulignez qu'il ne faut pas confondre appartenance et inclusion. Je vous direz alors avec un ton amusé que je pose cette question parce que j'essaie de comprendre la différence entre les deux et que ceci m'amène à me questionner sur l'appartenance d'un ensemble à un autre.

PS(3) : Bien loin de douter de vos propos, je souhaiterai une preuve de ces derniers, c'est-à-dire un passage d'une source sérieuse. J'aimerai en effet être certain de ce que vous dîtes, et y réfléchir avec mon professeur en ayant pour support une source sérieuse (en effet, les dires de mon professeur s'oppose radicalement au vôtres, vous aussi professeur. Peut-être, vous êtes plus habitué à la théorie des ensemble car vous enseignez (peut-être) en Sup(?)).

Merci,
Quanta

bonjour


une fonction est un ensemble   :  un ensemble de point   (x ; f(x))


la fonction   f(x) = 3    par exemple


pourtant   cet ensemble est bien  UN élément d'un autre ensemble    :  l'ensemble des entiers naturels par exemple

Camélia
   es ce que ce raisonnement est bon ?

N'importe quel livre de première année de licence maths te raconte l'histoire! Un ensemble ne peut en aucun cas être élément de lui-même mais il a parfaitement le droit d'être (ou ne pas être) un élément d'un autre ensemble. Il ne s'agit pas de démonstration, ce sont des axiomes de base de la théorie des ensembles telle qu'on l'accepte actuellement (Zermelo-Fraenkel) Voici une référence, mais j'ai peur de t'embrouiller encore plus:



(première page, axiome de l'ensemble des parties, tu le trouves aussi sur wiki)

J'ai enseigné toute ma carrière dans le supérieur et on a toujours accepté ce fait. Il y a bien une complication à propos de l'ensemble de tous les ensembles, mais tu n'as aucune chance d'y être confrontée...

> mdr_non Tu as identifié la fonction f avec son graphe, ce qui n'est pas interdit... mais qui va mieux en le précisant! Tu as vu comme une partie (très particulière) de . mais c'est vrai que c'est un élément de .

Si je comprend bien, un ensemble ne peut être réfléxif.
Le paradoxe de Russell est donc un énoncé faux puisqu'il met en jeu les notions (fausse?) d'ensembles réfléxifs.
Pourquoi est-il alors si connue puisqu'il est absurde ?
Merci pour vos réponses,
Quanta

Bonjour,

En fait, si j'ai bien compris, dans la théorie des ensembles, il n'y a pas deux catégories d'objets qui seraient les ensembles et les éléments, mais une seule : les ensembles.
Autrement dit tous les objets mathématiques de cette théorie sont des ensembles.
La relation d'appartenance est donc uniquement une relation entre ensembles, puisqu'il n'y a pas d'autres objets.
Si cette lecture est correcte, la question posée n'a même pas de sens (Quanta : ne prends surtout pas cette remarque personnellement ).

Salut frenicle

Le paradoxe de Russell est célèbre parce qu'il a pointé un défaut du système d'axiomes en usage à son époque... et il n'est ni vrai ni faux, tout dépend du système dans lequel on se place! Pour l'éviter on a rajouté un axiome (tout le monde n'est pas d'accord sur la teneur de celui-ci) qui évite de parler de l'ensemble de tous les ensembles. Ceci étant dit, il y a des branches des mathématiques qui s'occupent de ce genre de problèmes, mais l'honnête mathématicien qui fait même des mathématiques très avancées ne rencontre pas en général ce genre de difficulté!

@Frenicle:
De quel question parlez vous? De la mienne ou de celle de Russell? Dans les deux cas, j'aimerai avoir un éclaircissemnt de vos propos que je n'ai d'ailleurs pas compris.
@Camelia:
Vous parlez de "système [axiomatique]".
Y a-t-il une infinité de système viable (on dit aussi consistant?)?  En existe-t-il au moins un? Comment le trouver? Y a-t-il un unique système à la fois consistant et complet ?
Je pense que nombreux sont les mathématiciens à se poser ces questions, car pourquoi faire des mathématiques si les axiomes sont faux!
Merci pour vos réponses,
Quanta

Pour ce qui est de la complétude, voir Gödel!

Pour ce qui est de la consistance, le système actuel de la théorie des ensembles (Zermelo-Fräenkel) est considéré comme consistant par les spécialistes. Mais de toute façon un système d'axiomes ne donne pas plus que ce qu'on y a mis! On peut discuter si oui, ou non, on veut y inclure l'axiome du choix, ou celui de l'infini... ou l'hypothèse du continu! L'important est de savoir ce que l'on veut et ce que l'on fait avec!