Salut

R^2 et R^3 possèdent tous les deux une partie vide et c'est la même

comparer mais pourquoi en fait?

comparer c'est trouver une relation d'équivalence dans laquelle R^2 et R^3 sont de la même classe

donc construire un ensemble E lequel a au moins R^2 et R^3 pour éléments et une relation d'équivalence R telle que dans E/R    ces deux éléments sont de la même classe

mais là on s'en fiche un peu et ça n'empêche en rien que se soit le même Ø qui vérifie

Ø et Ø  

amethyste Les relations d'équivalences servent à partitionner un ensemble. Pour comparer des éléments entre eux, les relations d'ordre sont plus adaptées

ah oui mince SkyMtn

je pensais à un autre truc en disant ça

oui relation d'ordre (pour comparer  quand c'est comparable)

Mais on peut aussi comparer des cardinaux . . .

Bonsoir,

Je n'ai pas compris non plus pourquoi certains veulent absolument (peut-être dans un soucis égalitaire extrême) doter chaque ensemble de sa propre partie vide, j'entends bien l'histoire des ensembles de choux et de pommes de terre mais justement les ensembles ne sont pas des sacs de légumes.

Bonsoir,

Je ne suis pas un spécialiste mais est-ce que l'axiome d'extensionalité suffit ?



Puisque l'équivalence est vraie, on déduit que l'égalité est vraie

ah oui, je pense avoir la réponse avec la définition de wikipedia




qui ne donne pas de contrainte sur A et B.

Bonsoir

moi non plus je ne suis pas spécialiste
moi en fait si je fais (enfin j'essaye) de faire des maths  -mes motivations- sont d'ordres psychiatriques  


donc comme j'ai dit il me faut le schéma d'axiome de compréhension pour me donner une définition de l'inclusion

puis après me donner une définition de la complémentarité puis ensuite démontrer que l'ensemble vide existe puis enfin démontrer son unicité

Définition de l'inclusion
Soient deux ensembles E et F et une propriété où x est un ensemble quelconque

alors si x est un ensemble et que A(x) est vrai alors x est dans F et x est dans E
de sorte que tous les éléments de F sont aussi des éléments de E  
On note ce qui signifiera que F est inclus dans E
par le schéma d'axiome de compréhension non restreint on construit l'ensemble F selon



lemme

si X est un ensemble alors

puisque tous les élément de X sont des élément de X (forcément)


Définition de la complémentarité

Soient E et F deux ensembles on définit l'ensemble   

Cet ensemble existe si uniquement à cause de la propriété A
par définition on dira que E\F est l'ensemble des élément de E qui n'appartiennent pas à F

lemmes

Soient E et F deux ensembles
puisque évidemment tous les éléments de E\F sont des éléments de E
on interdit juste qu'ils soient des éléments de F
là avec l'axiome d'extensionalité qui permet de dire si deux ensembles sont égaux
et donc ils ne le sont pas si au moins l'un des éléments de l'un d'eux n'est pas aussi un élément de l'autre
idem même raisonnement

Définition de l'égalité de deux ensembles

on dit que deux ensembles E et F sont égaux si et seulement si on a

et

bien que l'axiome d'extensionnalité définisse l'égalité de deux ensembles cette définition ne le contredit pas

cependant pour l'instant cette définition est inutile jusque là car on a eu besoin jusque là de cet axiome et non de cette définition



Théorème de l'ensemble vide

Soit E un ensemble par conséquent on vérifie et donc comme le dit l'un des lemmes

E\E existe et il est donc un ensemble
cependant il ne peut posséder d'éléments car on doit vérifier
que tous les éléments de E\E sont les éléments de E qui ne sont pas dans E
de plus on doit aussi vérifier (sinon il y a contradiction) que la phrase  
quelque soit x est un ensemble tel que alors x est dans E
est vraie

ce qui reste correcte car si personne n'est dans E la phrase reste valable

on appellera cet ensemble un ensemble vide  


Théorème de l'unicité de l'ensemble vide

il suffit de démontrer que quelques soient E et F deux ensembles alors

on peut utiliser la définition qui jusque là ne servait pas et qui ne contredit en rien l'axiome d'extensionnalité



est vrai puisque ces deux ensembles sont vides

est vrai puisque ces deux ensembles sont vides

amethyste
Il me semble que l'axiome d'extensionalité et l'axiome de l'ensemble vide suffisent

donne l'existence de l'ensemble vide




Avec l'axiome d'extensionalité : on pose et tels que :

et

L'assertion est vraie donc on déduit que

Bonjour Mousse 42

c'est vrai que je complique toujours tout  et que d'un truc simple à comprendre j'en sort souvent un charabia bon pour moi   peut être mais absurde pour les autres

ceci dit quand même

…  pourquoi j'ai eu besoin tout à l'heure du schéma d'axiome de compréhension non restreint pour faire de l'existence de l'ensemble vide non un axiome mais un théorème?

dans ce cas si le schéma est inutile, il faut que tu fasse tout sans lui
et si il est utile alors poser l'ensemble vide comme axiome est absurde
(c'est l'un ou l'autre)

pour l'unicité je l'ai donné pareil grâce à lui donc idem si on peut tout faire rien qu'avec l'axiome d'extensionalité

il faut qu'après on fasse tout sans cet axiome et là c'est risqué je trouve  

Bonjour amethyste

Tu sais, je me suis pas embêté à vouloir tout redémontrer et il reste des choses que je ne comprends toujours pas mais bon ce n'est pas au programme de la licence.

J'ai ouvert mon livre "tout en un  L1", et il commence par l'axiome d'extentionalité et l'axiome de l'ensemble vide.

Le problème est que pour l'axiome d'extensionalité il donne :



et ne précise pas la nature des objets

Par contre sur wikipedia  on a :



et là on n'a pas de contrainte sur les objets contenus dans A et dans B.  Ainsi on déduit que l'ensemble vide est unique.

Ensuite je me suis posé la question sur la portée des quantificateur , et il semble qu'il y a une notion d'univers... et là je préfère m'arrêter, et bosser le chapitre : "réduction des endomorphismes".

Bonjour Mousse42

oui évidemment je comprend
mes motivations ne sont pas les mêmes qu'un prof ou un étudiant

(j'ai des problèmes psychiatriques lourds et les maths m'aident à réfléchir un peu mieux mais comme tu vois c'est un peu le foutoir souvent à part bon des rares fois où je suis plus lucide mais si je serais vraiment  lucide je n'aurais pas besoin de bosser comme un malade mes maths quasiment jours et nuits pour un résultat d'arriéré mental lollll )

bon sinon  quand même je ne comprend pas pourquoi tu pose l'ensemble vide comme axiome sachant que tu aura besoin du schéma d'axiome de compréhension et qu'avec lui il te donne cet ensemble par théorème