Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau Licence Maths 1e ann
Partager :

Boules, métrique discrète => topologie élémentaire

Posté par
shelzy01
14-09-08 à 15:02

Bonjour à tous

J'ai un exercice de topologie mais je n'ai pas le corrigé pouvez vous m'aider.

Considérons ( E , ) qui est la métrique discrète.

Métrique discrète: Tout ensemble non vide E possède la métrique discrète   définie par:
(x,y) = 6$\textrm \{{1 si x < > y \atop 0 si x=y}
             o
Calculer B(a,r) et S(a,r)

_
B(a,r) est corrigé mais je n'ai pas compris ceci, pouvez vous m'expliquer
_
B(a,r) = {x E /   (x,a)   r } = E   r 1
Pourquoi E ?

_
B(a,1/2) = {x E /   (x,a)   1/2 } = {a}  
Pourquoi {a}
_
B(a,r) = {a} si 0 r < 1
Pourquoi {a}

Ce corrigé est correcte mais pourquoi ? Pouvez vous m'expliquer, merci d'avance pour votre aide

Posté par
otto
re : Boules, métrique discrète => topologie élémentaire 14-09-08 à 15:32

Bonjour.
C'est quoi la distance entre a et n'importe quel point x (au pire) ?

C'est quoi la distance entre a et n'importe quel point x différent de a lui même ?

Posté par
shelzy01
re : Boules, métrique discrète => topologie élémentaire 14-09-08 à 17:10

Bonjour otto

Déf d'une boule fermée:
_
B(a,r)={x E \ d(x,a) r}

En fait je n'arrive pas vraiment à visualiser la métrique discrète et la boule fermée ?

Citation :
C'est quoi la distance entre a et n'importe quel point x (au pire) ?


C'est justement ceci le problème le point x peut sortir de la boule fermée ?

Moi je visualise ceci (voir dessin)

(en rouge) est-ce qu'il est interne au cercle ?

Boules, métrique discrète => topologie élémentaire

Posté par
shelzy01
re : Boules, métrique discrète => topologie élémentaire 14-09-08 à 17:18

_
B(a,r) = {x E /   (x,a)   r } = E     r    1
Pourquoi E ?

Pour moi le cercle varie entre 0 r 1

Puisque le métrique discrète   varie entre 0 et 1 ?

c'est ceci ? en fait j'ai vraiment beaucoup de difficulté à visualiser   

Merci d'avance pour tes explications

Posté par
jeanseb
re : Boules, métrique discrète => topologie élémentaire 14-09-08 à 17:30

Bonjour

la métrique discrète est simple, a partir du point a:

si le point est a, la distance vaut 0

si le point est n'importe quoi sauf a, la distance est 1

Donc si r est >= 1, tout point de E est à une distance 1 de a, donc il est dans la boule fermée B(a;r) puisque tout point est dans la boule B(a;1).

OK?

Posté par
shelzy01
re : Boules, métrique discrète => topologie élémentaire 14-09-08 à 17:44

Bonjour jeanseb

Je pense avoir compris, je résume en fait on a le point a E, si on prend un point x   E , la distance du point a au point x peut être soit 0, soit 1 à cause de la métrique discrète

(voir schéma)

1). La métrique appartient à la boule fermée ?

=> Si r > 1 , on sort de la boule fermée on est donc dans E, est-ce que c'est pour ceci que:
_
B(a,r) = {x E /   (x,a) r} = E

Merci pour ton aide

Boules, métrique discrète => topologie élémentaire

Posté par
shelzy01
re : Boules, métrique discrète => topologie élémentaire 14-09-08 à 17:56

c'est ceci mon problème ?


Boules, métrique discrète => topologie élémentaire

Posté par
otto
re : Boules, métrique discrète => topologie élémentaire 14-09-08 à 17:59

Je ne comprend pas vraiment ton problème:

La boule de centre a et de rayon r est l'ensemble des points dont la distance à a est au plus égale à r.

Si r=2, vu que tous les points de E sont à une distance de 1 ou de 0 de a, alors la boule est E au complet : Tous les points de E sont à une distance de a plus petite que 2.

Si r=1/2, il n'y a que les points dont la distance est plus petite que 1/2, or ceci n'arrive que pour une distance nulle c'est à dire lorsque x=a.

Posté par
shelzy01
re : Boules, métrique discrète => topologie élémentaire 14-09-08 à 18:09

Ah oui, merci otto, j'ai tout compris merci pour ces explications supers claires  

Je vais faire la boule ouverte et la sphère pour voir si j'ai bien compris et je te le poste.

Merci encore  

Posté par
shelzy01
re : Boules, métrique discrète => topologie élémentaire 14-09-08 à 18:35

On considère toujours (E, ) et a E
o
B(a,r) = {x E /   (x,a) < r} = E   r > 1

o
B(a,r) = {x E /   (x,a) < r} =    si 0   r 1

Est-ce correcte pour la boule ouverte de centre a et de rayon r ?

Merci d'avance pour la correction

Posté par
shelzy01
re : Boules, métrique discrète => topologie élémentaire 16-09-08 à 15:12

Personne pour me corriger  

Posté par
Camélia Correcteur
re : Boules, métrique discrète => topologie élémentaire 16-09-08 à 17:42

Bonjour (à tous)

Si r 1, la boule ouverte de centre a et de rayon r est le singleton {a}.

Posté par
shelzy01
re : Boules, métrique discrète => topologie élémentaire 16-09-08 à 21:27

Bonsoir Camélia

Merci de m'avoir corrigé

Il ne me reste plus que la sphère:

On considère toujours (E, ) et a    E

S(a,r) = {x E /   (x,a) = r} =     r > 1

S(a,r) = {x E /   (x,a) = 0} = {a} si r = 0

mais pour r = 1 et 0 < r < 1 je ne sais pas, en fait ce n'est pas trop évident car la sphère c'est juste le bord (ie: les points qui sont à distance r)



Merci pour ton aide Camélia

Posté par
Camélia Correcteur
re : Boules, métrique discrète => topologie élémentaire 17-09-08 à 14:08

Rebonjour

S(a,1)=\{x\in E| \delta(x)=1\}=E\setminus\{a\}

Si 0 < r < 1, S(a,r)=

Posté par
shelzy01
re : Boules, métrique discrète => topologie élémentaire 17-09-08 à 16:48

Oui, d'accord, je n'aurais pas trouvé pour r = 1, merci pour tes réponses et surtout d'être venu voir mon topic déjà bien entamé c'est   .

Bonne fin d'après midi et merci encore Camélia

Posté par
Camélia Correcteur
re : Boules, métrique discrète => topologie élémentaire 17-09-08 à 16:50

Je ne résiste pas au mot TOPOLOGIE! (même élémentaire...)

Posté par
shelzy01
re : Boules, métrique discrète => topologie élémentaire 17-09-08 à 16:58



C'est toujours bon à savoir en tant qu'étudiant comme ça si j'ai d'autres questions j'écrirais "topologie" en titre principal  

Merci et bonne soirée   

Posté par
Abenmoussa
re : Boules, métrique discrète => topologie élémentaire 03-11-08 à 12:27

bonjour,

en ce qui concerne la distance discrete:

     la boule ouverte de centre a et de rayon r avec (r 1)  est le singleton {a}, pourtant {a} n'est pas un ouvert !! c'est normal ??

Posté par
otto
re : Boules, métrique discrète => topologie élémentaire 03-11-08 à 14:33

Bonjour,
c'est normal puisque {a} est un ouvert .... (pour la topologie discrete).



Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1699 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !