Niveau maths spé

Espaces vectoriels normés

Posté par
puisea 20-10-08 à 17:24

Bonjour, une petite confirmation sur un raisonnement :

On considère le sous-espace vectoriel de $E=\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ suivant :

$\mathcal{B}=\{x\in E,\exists M\in\mathbb{R}_+,\forall n,\quad |x_n|<M\}$

On considère sur, $\mathcal{B$ , la norme : $||x||_\infty=\sup_{n\in\mathbb{N}}|x_n|$ .

Pour $x\in\mathcal{B$ , on pose $S^N=\sum_{n=0}^Nx_ke^k$ pour tout $N\in\mathbb{N}$ , où $e^k=(\delta_{k,n})_{n\ge 0}$ .

On me demande à quelle condition sur x, la suite $(S^N)$ converge-t-elle vers x quand N tend vers l'infini.

Je considère donc la différence :

$|S^N-x|=\|\sum_{k=0}^Nx_ke^k-x\|=\|\sum_{k=N+1}^{+\infty}x_ke^k\|$

Il faut donc que

$\sum_{k=N+1}^{+\infty}x_ke^k\to 0$ quand N tend vers l'infini.

J'en déduis donc comme conclusion sur x qu'il faut que x converge vers 0.

Exact ?

Merci.

Posté par re : Espaces vectoriels normés 20-10-08 à 17:31

Bonsoir,

il y a un petit problème dans tes notations:

Citation :
$|S^N-x|=\|\sum_{k=0}^Nx_ke^k-x\|=\|\sum_{k=N+1}^{+\infty}x_ke^k\|$

S^N et x sont des suites réelles, tu dois plutôt regarder $||S^N-x||_{\infty}$ .

Posté par re : Espaces vectoriels normés 20-10-08 à 17:38

Bonsoir romu,

oui je vois ce que tu veux dire !

$||S^N-x||_\infty=||\sum_{k=0}^Nx_ke^k-x||_\infty=||\sum_{k=N+1}^{+\infty}x_ke^k||_\infty\sup_{n>N}|x_n|$

Cela me semble exact cette fois-ci au niveau des notations.
Est-ce que la condition que je propose est correcte ?

Merci.

Posté par re : Espaces vectoriels normés 20-10-08 à 17:38

Il s'agit bien sur de :

$||S^N-x||_\infty=||\sum_{k=0}^Nx_ke^k-x||_\infty=||\sum_{k=N+1}^{+\infty}x_ke^k||_\infty=\sup_{n>N}|x_n|$

Posté par re : Espaces vectoriels normés 20-10-08 à 17:40

oui ça me semble correct, tu as trouvé une condition nécessaire, reste à voir si elle est suffisante.

Posté par re : Espaces vectoriels normés 20-10-08 à 17:41

Montrer que la condition est suffisante est évidente... à moins que je ne loupe une subtilité

Merci romu.

Posté par re : Espaces vectoriels normés 20-10-08 à 17:42

oui il n'y a pas de subtilité

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