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Partitionner l'espace en cercles
Bonjour, on se propose de partitionner l'espace en cercles, mais je sais pas trop comment commencer, qq'un a t'il des idées?
C'est vrai qu'un parttionnement ne sera pas une fibration...mais bon autant commencer par cherches simple...
De plus, a mon avis pour partitionner l'espace il va nous falloir avoir un minimum d'organisaion et d'onc il va tres certainement falloir le fibrer...mais c'est une bonne question de chercher des parttions qui ne soient pas des fibrations...
Cela dit on peut trouver des solutions simples ou i n'y a pas trop de cercles degenres (i.e) reduit a un poitn. R^3 c'est une reunion de R² disjointes (un fibre trivial quoi de base R de fibre R²) et chaque R² est bien sur partitionné en cercles concentriques centré sur l'origine...Bon on a quand meme une droite la dedans...
On petu facilement arriver a trouver une telle partition n'ayant q'un seul point...Par exemple on peut partionner R^3 en sphere de dimension 2 et un point, l'origine, et chaque sphere S2 est un fibre en cercle sur la sphere S1 (fibration de Hopf)
Bon j'ai une idée mais je ne sais pas comment conclure, si on sait comment partitionner une sphere privé de deux points quelconques , en cercles , est ce qu'on peut alors deduire une partition de IR^3 en cercles?
Oulah, j'ai dit une grosse connerie...la fibration de Hopf ne marhe que pour les sphere de dimension paires!!
desolé
On ne peut pas fibrer S2 avec S1. Par contre on peut fibrer S3 :
On regarde et on fait agir
par :
Le quotient est isomorphe à et on obtient une fibration.
Non, si c'était vrai on saurait mettre des structures complexes sur les sphères de dimensions paires et on ne sait pas le faire ! De plus ça n'a pas grand chose à voir avec la question de départ !
Bon j'ai une idée mais je ne sais pas comment conclure, si on sait comment partitionner une sphere privé de deux points quelconques , en cercles , est ce qu'on peut alors deduire une partition de IR^3 en cercles?
Romsad : je ne pense pas que ton idée va marcher. On n'est arrivé à un autre point, partitionner avec des sphères privées de deux points et de cercles. Ca ne semble pas plus simple.
Par ailleurs, il est vrai que la fibration de Hopf de S3 donne un résultat pas trop mauvais : une partition de avec des cercles et une seule droite.
Si ça t'intéresse je peux te donner des détails. Je continue à chercher pour une vraie partition.
(... le fibré tautologique de est de dimension paire (car variété complexe)... ça va être compliqué de construire des difféos vers quelque chose de dimension impaire...)
Non, ce que je veux c'est partitionner en cercles, rien que des cercles, mais mon idée, c'est que apres on va utiliser les deux point qu'on a oté de chaque sphere pour former des cercles..
Bonsoir 
L'idée de romsmad marche en fait.
On peut effectivement partitionner une sphère privée de deux points en cercles.
Et 
3 est bien une union disjointe de sphères privées de deux points et de cercles.
On considère les sphères Sr : x² + y² + z² = r² pour r > 0.
Et la famille de cercles Ck : [x - (4k + 1)]² + y² = 1, z = 0.
Chaque Sr coupe l'union des Ck en exactement deux points.
Cordialement
Frenicle
Ce sont des cercles de rayon 1 centrés sur l'axe des x et dont les centres sont espacés de 4 en 4. Imagine une guirlande de cercles tangents dont on retire un sur deux.
OOOOOOOOO
O O O O O
La sphère centrée en O coupe soit un des cercles en deux points, soit deux cercles, chacun en un point.
C'est quoi pk ?
Avec ce choix de cercle, il semblerait qu'il y ait des sphères sans intersection :
est de centre
est de centre
Quel cercle intersecte la sphère de rayon 3 ? (Me trompe-je ?)
Il vaudrait mieux prendre les cercles de rayons 1 centrés aux points :
Bien vu Frenicle !
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