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Partitionner l'espace en cercles

Posté par
romsmad
27-10-08 à 20:57

Bonjour, on se propose de partitionner l'espace en cercles, mais je sais pas trop comment commencer, qq'un a t'il des idées?

Posté par
tringlarido
re : Partitionner l'espace en cercles 27-10-08 à 20:59

Quel espace ?

Posté par
romsmad
re : Partitionner l'espace en cercles 27-10-08 à 21:16

l'espace usuel , IR3

Posté par
tringlarido
re : Partitionner l'espace en cercles 27-10-08 à 21:19

Est-ce qu'on accepte les cercles réduit à un point ?

Posté par
romsmad
re : Partitionner l'espace en cercles 27-10-08 à 21:20

Non Non bien sur

Posté par
tringlarido
re : Partitionner l'espace en cercles 27-10-08 à 21:36

Le problème n'a pas l'air très simple.

Posté par
Rodrigo
re : Partitionner l'espace en cercles 27-10-08 à 21:40

Bonsoir,
est ce que tu connais le BaBa de la theorie des fibrés differentiels?

Posté par
tringlarido
re : Partitionner l'espace en cercles 27-10-08 à 21:42

Remarque : une partition en cercle n'est pas forcément une fibration en cercle.

Posté par
romsmad
re : Partitionner l'espace en cercles 27-10-08 à 21:43

pas du tout c'est koi?

Posté par
Rodrigo
re : Partitionner l'espace en cercles 27-10-08 à 21:54

C'est vrai qu'un parttionnement ne sera pas une fibration...mais bon autant commencer par cherches simple...
De plus, a mon avis pour partitionner l'espace il va nous falloir avoir un minimum d'organisaion et d'onc il va tres certainement falloir le fibrer...mais c'est une bonne question de chercher des parttions qui ne soient pas des fibrations...

Cela dit on peut trouver des solutions simples ou i n'y a pas trop de cercles degenres (i.e) reduit a un poitn. R^3 c'est une reunion de R² disjointes (un fibre trivial quoi de base R de fibre R²) et chaque R² est bien sur partitionné en cercles concentriques centré sur l'origine...Bon on a quand meme une droite la dedans...
On petu facilement arriver a trouver une telle partition n'ayant q'un seul point...Par exemple on peut partionner R^3 en sphere de dimension 2 et un point, l'origine, et chaque sphere S2 est un fibre en cercle sur la sphere S1 (fibration de Hopf)

Posté par
romsmad
re : Partitionner l'espace en cercles 27-10-08 à 21:57

Bon j'ai une idée mais je ne sais pas comment conclure, si on sait comment partitionner une sphere privé de deux points quelconques , en cercles , est ce qu'on peut alors deduire une partition de IR^3 en cercles?

Posté par
Rodrigo
re : Partitionner l'espace en cercles 27-10-08 à 22:00

Oulah, j'ai dit une grosse connerie...la fibration de Hopf ne marhe que pour les sphere de dimension paires!!
desolé

Posté par
tringlarido
re : Partitionner l'espace en cercles 27-10-08 à 22:00

On ne peut pas fibrer S2 avec S1. Par contre on peut fibrer S3 :
On regarde  S3 \subset \mathbb{C}^2 et on fait agir  \S1 \subset \mathbb{C} par :

 \\ e^{i \theta} (z,w) = (e^{i \theta} z, e^{i \theta} w)
 \\
Le quotient est isomorphe à  S2 et on obtient une fibration.

Posté par
tringlarido
re : Partitionner l'espace en cercles 27-10-08 à 22:01

La fibration de Hopf marche pour S3 et S7 et c'est tout !

Posté par
Rodrigo
re : Partitionner l'espace en cercles 27-10-08 à 22:04

Tringlarido, le fibré tautologique sur CPn c'est pourtant bien S^{2n+1}, non?

Posté par
tringlarido
re : Partitionner l'espace en cercles 27-10-08 à 22:09

Non, si c'était vrai on saurait mettre des structures complexes sur les sphères de dimensions paires et on ne sait pas le faire ! De plus ça n'a pas grand chose à voir avec la question de départ !

Posté par
romsmad
re : Partitionner l'espace en cercles 27-10-08 à 22:10

Bon j'ai une idée mais je ne sais pas comment conclure, si on sait comment partitionner une sphere privé de deux points quelconques , en cercles , est ce qu'on peut alors deduire une partition de IR^3 en cercles?

Posté par
Rodrigo
re : Partitionner l'espace en cercles 27-10-08 à 22:11

Ben non justement S^2n+1 est de dimension impaire...Desolé pour le hors sujet...

Posté par
tringlarido
re : Partitionner l'espace en cercles 27-10-08 à 22:13

Romsad : je ne pense pas que ton idée va marcher. On n'est arrivé à un autre point, partitionner  \mathbb{R}^3 avec des sphères privées de deux points et de cercles. Ca ne semble pas plus simple.

Par ailleurs, il est vrai que la fibration de Hopf de S3 donne un résultat pas trop mauvais : une partition de  \mathbb{R}^3 avec des cercles et une seule droite.

Si ça t'intéresse je peux te donner des détails. Je continue à chercher pour une vraie partition.

Posté par
tringlarido
re : Partitionner l'espace en cercles 27-10-08 à 22:14

(... le fibré tautologique de  \mathbb{CP}^n est de dimension paire (car variété complexe)... ça va être compliqué de construire des difféos vers quelque chose de dimension impaire...)

Posté par
romsmad
re : Partitionner l'espace en cercles 27-10-08 à 22:18

Non, ce que je veux c'est partitionner en cercles, rien que des cercles, mais mon idée, c'est que apres on va utiliser les deux point qu'on a oté de chaque sphere pour former des cercles..

Posté par
tringlarido
re : Partitionner l'espace en cercles 27-10-08 à 22:24

Un collier de sphères quoi ?

Posté par
romsmad
re : Partitionner l'espace en cercles 27-10-08 à 22:27

non je crois pas que ca soit la bonne disposition des spheres

Posté par
frenicle
re : Partitionner l'espace en cercles 27-10-08 à 22:43

Bonsoir
L'idée de romsmad marche en fait.
On peut effectivement partitionner une sphère privée de deux points en cercles.
Et 3 est bien une union disjointe de sphères privées de deux points et de cercles.
On considère les sphères Sr : x² + y² + z² = r² pour r > 0.
Et la famille de cercles Ck : [x - (4k + 1)]² + y² = 1, z = 0.
Chaque Sr coupe l'union des Ck en exactement deux points.

Cordialement
Frenicle

Posté par
romsmad
re : Partitionner l'espace en cercles 27-10-08 à 22:48

salut frenicle merci, juste une question, comment tu trouve 4k+1 et pk?

Posté par
frenicle
re : Partitionner l'espace en cercles 27-10-08 à 22:55

Ce sont des cercles de rayon 1 centrés sur l'axe des x et dont les centres sont espacés de 4 en 4. Imagine une guirlande de cercles tangents dont on retire un sur deux.
OOOOOOOOO
O O O O O

La sphère centrée en O coupe soit un des cercles en deux points, soit deux cercles, chacun en un point.
C'est quoi pk ?

Posté par
tringlarido
re : Partitionner l'espace en cercles 27-10-08 à 22:56

Avec ce choix de cercle, il semblerait qu'il y ait des sphères sans intersection :
 C_0 est de centre  (1,0)
 C_1 est de centre  (5,0)

Quel cercle intersecte la sphère de rayon 3 ? (Me trompe-je ?)

Il vaudrait mieux prendre les cercles de rayons 1 centrés aux points :

 \\ (1,0,0), (-3,0,0), (5,0,0), (-7,0,0), \ldots
 \\

Bien vu Frenicle !

Posté par
frenicle
re : Partitionner l'espace en cercles 27-10-08 à 22:58

La sphère de rayon 3 intersecte le cercle centré en -3.

Posté par
tringlarido
re : Partitionner l'espace en cercles 27-10-08 à 22:58

(oui j'ai dis des bêtises)

Encore bien vu Fernicle.

Posté par
frenicle
re : Partitionner l'espace en cercles 27-10-08 à 22:59

Merci, j'ai une bonne mémoire surtout



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