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quelques questions sur les suites
Bonsoir à tous
Soit (E,
-) un espace vectoriel normé réel. Soit z
E un vecteur non nul et posons F
E le sous-espace vectoriel engendré par x. Soit (xn=
n.z) une suite convergente de F.
(1). Montrer que la suite (xn) est bornée.
(2). Conclure que la suite de nombres réels (n) est bornée.
(3). En déduire que la suite (n) admet une sous-suite convergente.
(4). Soit cette limite montrer que la suite (xn) converge vers .z
(5). Soit yE\F. Montrer que: 0 < d(y,F\{0}) 
y
Voici mes réponses:
(1). juste une définition "Toute suite convergente est bornée"
(2). Alors là je ne sais pas trop si c'est correcte !!
Je dirais comme n est une sous-suite de xn (car xn=n.z) qui est bornée alors n est forcément bornée !
Est-ce correcte ??
Je vous remercie d'avance pour votre aide 
Bonsoir.
Relis la définition de sous-suite, ce que tu dis n'a pas de sens.
Calcule la norme de , relie là avec
, et déduis que cette dernière quantité est bornée.
Dès le début de l'énoncé figure un mot que tu ne connais pas, avant même de commencer l'exercice, tu dois chercher ce que ça signifie.
Si est un vecteur, le sous-espace engendré par
est
.
Donc, quelle est la nature de ? de
? de
? A quels ensembles appartiennent-ils ?
On s'éloigne peut-être un peu de l'exercice, mais il faut que ce genre de choses deviennent naturelles, et que tu saches quels sont les objets que tu manipules.
"On s'éloigne peut-être un peu de l'exercice, mais il faut que ce genre de choses deviennent naturelles, et que tu saches quels sont les objets que tu manipules."
Bien au contraire c'est bien merci
z est donc un vecteur car zE un espace vectoriel normé réel
n est une suite de nombres réels qui appartient à 
xsub]n[/sub]
oui bien sure 
Bonne question je vois pas trop à vrai dire, on sait que c'est une suite de nombres réels, ça n'a pas avoir quelque chose avec une suite arithmétique ou quelque chose dans ce genre
La première égalité, c'est ok. (petite question, pourquoi as-tu le droit de diviser par la norme de x ?)
La seconde n'a aucun sens, que signifie une division d'un vecteur par un autre ??
J'ai le droit de diviser par la norme de x car une norme est positive.
une division d'un vecteur par un autre c'est dire qu'ils sont colinéaires ?
(X = a Y)
Positif n'empeche pas d'être nul, pour diviser par quelque chose, ce quelque chose doit être non nul, positif ou négatif n'y change rien ...
Pour pouvoir diviser par , il faut que
, et c'est justement le cas, car
est non nul, et la norme d'un vecteur est nulle ssi le vecteur est nul.
On ne divise pas les vecteurs !
Je voulais en arriver à .
Maintenant, tu sais par hypothèse que est bornée, ce qui te permet directement de montrer que
est bornée.
Je quitte l'île, je serai là demain matin si personne n'a pris le relai.
ok, d'accord je te remercie Arkhnor pour ton aide et tes petits mots de vocabulaire merci Passe une bonne soirée à demain matin 
Bonjour Arkhnor
Pour la question 3), 4) je sais le faire, par contre la question 5) ?? je ne vois pas du tout:
0 < d(y,F\{0})y
Sachant qu'une question auparavant on devait montrer que F est un fermé.
F yEt ce car F est fermé. (c'est important, si F n'était pas fermé, on peut très bien avoir et
)
En fait, de manière générale, si est une partie d'un espace métrique (par exemple un evn), alors l'ensemble des points
tels que
c'est
, l'adhérence de
.
Donc on sait maintenant que . Est-ce qu'on a pas une inégalité très simple entre
et
?
Bien, et donc on a une des deux inégalités. (une petite justification pour ce que tu avances ?)
En fait, on peut montrer que . Vois-tu comment ?
L'inclusion permet de dire que
.
Pour prouver , on doit montrer que
,
. (
Si , il n'y a rien à prouver, et si
, on utilise un argument de densité : on approche
par une suite de
qui tend vers
(par exemple
), l'inégalité est valable pour les
, et par passage à la limite, elle reste vraie pour
.
On a donc bien .
Maintenant, que peut-on dire et
?
Ok j'ai trout compris et j'arrive bien au résultat demandé par contre j'ai une toute dernière question 
Pour la question 3). Est-ce que la rédaction est correcte:
(xn) est une suite convergente, (n) est donc une sous-suite de xn car (xn=n*z) or la suite de nombres réels (n) est bornée, donc (n) est convergente.
Or toute suite convergente admet une sous-suite convergente donc (n) admet une sous-suite convergente.
Non, n'est pas une sous-suite de
!
Relis la définition de sous-suite.
L'idée, c'est d'appliquer un théorème du cours : que peut-tu dire d'une suite bornée de nombres réels ?
Non, est bornée, mais n'est pas convergente.
C'est le théorème de Bolzano-Weierstrass : toute suite bornée de nombres réels possède une sous-suite convergente.
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