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Niveau autre
Termes série harmonique non entiers.
Posté par cailloux 
Bonsoir,
Un élève de 1ère a posé la question suivante dans le forum "lycée"
Montrer que pour , les termes de la série harmonique ne sont pas entiers.
Je lui ai donné une réponse en bottant en touche:
Un démonstration consiste à utiliser le théorème de Tchebychev (ex postulat de Bertrand):
pour tout entier il existe au moins un nombre premier
tel que
.
Et de lui annoncer qu' en 1ère, ce n' était pas vraîment raisonnable de se lancer dans ce genre de choses.
D' où ma question: existe-t-il une démonstration "simple" du fait qu' aucun terme de la série harmonique pour n' est entier ?
Merci d' avance.
Bonsoir,
Je pense que la réponse est plus que simple ( si j'ai raison)
n 
2 
n >1
Donc comme n étant positif
0 < 1/n < 1 n >1
la serie harmonique étant de terme general un=1/n
Sachant qu'il n'existe aucun entier dans l'interval ]0,1[
On en déduit donc qu'aucun des termes de la série n'est entier pour n2
Je te prie de m'excuser, je pensais qu'on discutais des valeurs de Un = 1/n
En première je ne me rappelais pas qu'on faisait les Séries, autant pour moi
J'y réflechis immédiatement
Je pense avoir une piste
On commence par encadrer gentiment 1/n
1/t dt 
1/n t/t dtn2
Pour les borne des integrales de sachant pas le faire, elles sont de [n,n+1] la premiere et [n-1,n] la deuxieme.
En sommant on se retrouve avec
1/t dt 
1/t dt
Pour les bornes on prends cette fois ci (integrale 1 : [2,j+1] somme [2,j] integrale 2 [2,j]) avec j >2 et j entier
Ce qui rejoins si on fait tendre n vers l'infini vers la celebre approximation entre la serie harmonique et ln(n)
on se retrouve avec
ln(j+1) - ln(2) ln(j) - ln(2)
On suppose = k avec k un entier
Malheuresement la sa bloque parce que il existe effectivement des entiers compris dans mon encadrement exemple ln(14) - ln(2) 
1.9
et ln(15)-ln(2) 2.01
Je me doute qu'en poursuivant ainsi, je n'arriverai pas à grand chose car l'encadrement par 2 réels donnera une infinité d'entier ( puisque continu sur 2,
)
menfin c'est une premiere piste ...
J'ai craqué ... ( vite d'ailleurs )
En fouinant sur internet j'ai trouvé une méthode abordable en première sur le site suivant:
http://serge.mehl.free.fr/anx/val_ent_harmo.html
Bonne soirée
Bonjour
Merci, merci... Regardez comme nous avons souffert!
1/m+...1/n
Bonsoir à tous
Ce résultat a même un petit nom, le théorème de Kurschak une somme de fractions