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Topologie > Sous-espace fermé d'un espace Lp
Bonjour 
Après un bon noël copieux et arrosé, on se remet au boulot 
J'ai posté en défi un bel exercice dont l'énoncé est semblable au problème que je rencontre, sauf que la résolution du défi ne marche pas pour mon exercice 
Le voici :
On se donne un espace mesuré
On considère
On veut montrer que
J'ai pour indice de considérer, après en avoir montrer l'existence, une famille orthonormale de fonctions de
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Tout d'abord, je précise que je n'ai pas énormément de notion en théorie de la mesure et d'intégration de Lebesgue et je ne sais pas si on a besoin de beaucoup de bagages pou résoudre l'exercice.
Bref, j'ai quand même essayé. Je me suis demandé pourquoi on s'intéressait à
J'ai montré que pour un
Maintenant, je n'arrive pas à prouver l'existence de ma base orthonormale, et encore moins à en déduire ce qu'on veut.
Si vous aviez des indices à me proposer ...
Merci
Jord
Oubliez l' existence de la base orthonormale, Gramm-Schmidt répond à la question pour nous ! (Merci à Otto pour m'avoir rappelé le caractère Hilbertien de L^2 !)
Euh oui pardon je corrige ça, c'est une quantification existencielle qui précède epsilon, pas universelle bien sûr !
Suite à la brillante idée d'otto d'utiliser la boule unité, voici mon avancée :
On note et
ma famille orthonormale de
.
Je considère pour un n-uplet
de la boule unité de
.
Si l'on arrive à montrer qu' indépendamment du choix du n-uplet, est majoré par
-presque pour tout x, il adviendrait en choisissant astucieusement les xi :
En intégrant sur on obtient une majoration de n (par
.
Il reste donc juste à montrer la majoration des , je n'y arrive pas
Oui tu as raison.
En écrivant ce qui suit c'est peut être mieux :
Supposons la dimension de F infinie. On peut se fixer un n aussi grand que l'on veut tel que
On prouve alors que ce qui est contradictoire avec le fait que
soit fini.
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