Bonjour Camélia
Oui oui, je sais ce que signifie ce diagramme, mais j'aimerais comprendre pourquoi est-ce qu'il faut le comprendre ainsi.
Il me semble que la définition de Wikipédia ne colle pas, à moins peut-être que l'on impose qu'il y ait au moins deux flèches entre les deux objets considérés.
J'ai l'impression (mais je peux tout à fait me tromper) que les diagrammes commutatifs ne sont pas seulement une aide à la réflexion, mais peuvent constituer véritablement une démonstration en eux-mêmes (par exemple pour montrer qu'un graphe est planaire un dessin suffit, et constitue, il me semble, une démonstration parfaitement rigoureuse, du moment qu'il n'y a pas d'ambiguité sur ce qui est dessiné).
Par exemple pour montrer que deux objets initiaux sont isomorphes, on peut le faire avec des mots :
Citation :
Si e et e' sont initiaux, il existe f : e -> e' et g : e' -> e, d'où fog : e' -> e' et gof : e -> e, mais e et e' étant initiaux il n'existe qu'une seule flèche e -> e qui est l'identité de e, d'où gof = ie et de même il n'existe qu'une seule flèche e' -> e' qui est l'identité de e', d'où fog = ie'.
Par conséquent f et g sont des isomorphismes, donc e et e' sont isomorphes.
Mais on pourrait aussi faire un diagramme avec e et e', ainsi que les flèches f, g, i
e et i
e' en pointillés (pour dire qu'elles sont uniques), et il contient exactement les mêmes informations que la démonstration avec des mots (on a l'existence des flèches, et leur composition donne des flèches e -> e et e' -> e' dont il est indiqué sur le diagramme qu'elles ne peuvent être que l'identité)
Mais a-t-on le droit de faire ce genre de diagramme, et est-ce pour autant une preuve?
En gros ma question est de savoir laquelle de ces deux phrases est vraie :
* Un diagramme commutatif sert à montrer informellement pourquoi une certaine propriété est vraie; une preuve resterait à écrire pour être parfaitement rigoureux mais le diagramme donne quasiment tous les éléments pour.
* Un diagramme est une démonstration absolument rigoureuse qui peut tout à fait remplacer une preuve par des mots (mais dans ce cas il nous faudrait une définition parfaitement rigoureuse d'un diagramme commutatif)
Merci
Fractal