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exo sur les ensembles (2)

Posté par
hedgefunder 27-08-10 à 13:41

bonjour à tous

un exo sur les ensemble,pour lequel j'aimerais avoir une correction merci d'avance!

énoncé:

Soit E un ensemble et A,B,C,D des parties de E. On designe par "A-B" les éléments de A qui ne sont pas éléments de B.

SoitA\Delta B=(A-B)\cup(B-A) et \overline{A}=E-A (complémentaire de A dans E).

I) démontrer que A\Delta B=(A\cap\overline{B})\cup(B\cap\overline{A})=(A\cup B)-(A\cap B)

II) démontrer les relations suivantes

1)\overline{A}\Delta\overline{B}=A\Delta B

2)A=B\Longleftrightarrow A\Delta B=\emptyset

3)A-B=A\Longleftrightarrow B-A=B

4)A\Delta B=A\cap B\Longleftrightarrow A=B=\emptyset

5)(A-C)\cap(B-C)=(A\cap B)-C

6)(A-C)-(B-C)=(A-B)-C=A-(B\cup C)

7)(A-C)-(B-C)=(A-B)-C=A-(B\cup C)

8) montrer que l'opération \Delta est associative, un élément neutre et que tout élément de P(E) a un symétrique

9)Soient A_{1},.......,A_{n} n parties de E. Démontrer que x est un élément de A_{1}\Delta.....\Delta A_{n} si et seulement si x est élément d'un nombre impair de A_{i}

bon on va y aller morceau par morceau...

I) Soit x\in A\Delta B on a x\in(A-B)\cup(B-A) donc (x\in(A-B))ou(x\in(B-A)) donc ((x\in A)et(x\notin B))ou((x\in B)et(x\notin A))

Soit x\in(A\cap\overline{B})\cup(B\cap\overline{A}) on a ((x\in A)et(x\notin B))ou((x\in B)et(x\notin A))

Ainsi x\in A\Delta B\Longleftrightarrow x\in(A\cap\overline{B})\cup(B\cap\overline{A}) et A\Delta B=(A\cap\overline{B})\cup(B\cap\overline{A})

(A\cup B)-(A\cap B)=(A\cup B)\cap\overline{(A\cap B)}=(A\cup B)\cap(\overline{A}\cup\overline{B})=((A\cup B)\cap\overline{A})\cup((A\cup B)\cap\overline{B})=(A\cap\overline{A})\cup(B\cap\overline{A})\cup(A\cap\overline{B})\cup(B\cap\overline{B})=(B\cap\overline{A})\cup(A\cap\overline{B})=A\Delta B

Posté par
Camélia Correcteurre : exo sur les ensembles (2) 27-08-10 à 13:55

Bonjour

Pour l'instant OK! Continue...

Posté par
hedgefunderre : exo sur les ensembles (2) 27-08-10 à 15:18

ok

pour le II)1)
d'apres I
\overline{A}\Delta \overline{B}=(\overline{A}\cap \overline{\overline{B}})\cup(\overline{B}\cap\overline{\overline{A}})=(\overline{A}\cap B)\cup (\overline{B}\cap A)=A\Delta B

2)Si A=B alors A\Delta B=(\overline{A}\cap B)\cup (\overline{B}\cap A)=(\overline{A}\cap A)\cup (\overline{A}\cap A)=(\empty)\cup (\empty)=\empty

Si A\Delta B=\empty alors (A-B)\cup (B-A)=\empty donc (A-B)=\empty et (B-A)=\empty (ce que l'on peut montrer par l'absurde: en effet supposons que l'un de ces deux ensembles possedent un élément, leur réunion le possederait aussi ce qui est absurde puisque celle-ci est vide).

or si (A-B)=\empty et  (B-A)=\empty alors A\subset B et B\subset A donc A=B

Posté par
Camélia Correcteurre : exo sur les ensembles (2) 27-08-10 à 17:34

OK!

Posté par
Noflahre : exo sur les ensembles (2) 27-08-10 à 17:46

Bonjour,

Ouh je le reconnais celui là ! ^^
Bravo Hedgefunder

Posté par
hedgefunderre : exo sur les ensembles (2) 28-08-10 à 13:13

Citation :
Bonjour,

Ouh je le reconnais celui là ! ^^


merci

II)3)
Parttie directe
A-B=A \Longleftrightarrow (x\in A-B \Longleftrightarrow x\in A) \\
ainsi x\in A \Longrightarrow (x\in A et x\notin B) donc x\in A \Longrightarrow x\notin B \\
par contraposition on a x\in B \Longrightarrow x\notin A et donc x\in B \Longrightarrow (x\in B et x\notin A) c'est à dire x\in B \Longrightarrow x\in B-A

de plus x\in B-A \Longrightarrow x\in B

ainsi x\in B-A \Longleftrightarrow x\in B d'où B-A=B

partie réciproque

on procède de la même façon

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : exo sur les ensembles (2) 28-08-10 à 13:43

Salut

Juste une petite remarque qui facilité la vie des fois: l'utilisation des fonctions indicatrices ..
On a la propriété: A = B ssi 1_A=1_B
Mais aussi:

3$1_{\overline{A}}=1-1_A\\ \\ 1_{A\cap B}=1_A1_B\\ \\ 1_{A\cup B}=1_A+1_B-1_A1_B\\ \\ 1_{A\backslash B}=1_A(1-1_B) \\

et on peut montrer facilement que 3$1_{A\Delta B}=1_A+1_B-2.1_A.1_B

(ça tu en aurais surtout besoin une fois arrivé à l'associativité de la différence symétrique ..)

Et donc pour la première question par exemple, ça devient beaucoup plus simple:

3$1_{\overline{A}\Delta\overline{B}}=1_{\overline{A}}+1_{\overline{B}}-2.1_{\overline{A}}.1_{\overline{B}}\\ \\ \qquad\qquad\qquad = 1-1_A + 1-1_B-2(1-1_A)(1-1_B) \\ \qquad\qquad\qquad = 1-1_A + 1-1_B-2+2.1_A+2.1_B-2.1_A1_B = 1_{A\Delta B} \\

..

Posté par
hedgefunderre : exo sur les ensembles (2) 28-08-10 à 13:51

II)4)

d'après 1 on a

A\Delta B=(A\cup B)-(A\cap B)

si A\Delta B=A\cap B alors (A\cup B)-(A\cap B)=A\cap B

ainsi x\in A\cup B et x\notin A\cap B \Longleftrightarrow x\in A\cap B

donc A\cap B=\empty d'où x\in A\cup B \Longleftrightarrow x\in \empty \\
donc A=B=\empty

si A=B=\empty alors A\cap B=\empty et A\Delta B=\empty donc A\Delta B=A\cap B

J'ai du mal à être rigoureu pour celui-ci... Comment le rédigeriez vous?

Posté par
hedgefunderre : exo sur les ensembles (2) 28-08-10 à 13:56

Citation :
Juste une petite remarque qui facilité la vie des fois: l'utilisation des fonctions indicatrices ...


il me semble que mon prof m'en avait parler de ces fonctions mais...
1_A cela veut dire que ça vaut 1 si xA et 0 sinon ou je suis à coté de la plaque?

le problème c'est que à moins qu'on ne le voie en début de sup je ne pourrai pas l'utiliser...

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : exo sur les ensembles (2) 28-08-10 à 14:07

C'est exact pour la définition ! Bah normalement oui, c'est du programme de sup (Ensembles et applications)

Sinon pour ta démo, ce à quoi tu penses est juste, mais la rédaction non ^^ par exemple x\in\empty, ça n'a aucun sens !

Personnellement j'aurais dit

3$A\Delta B = (A\cup B)\backslash (A\cap B) = (A\cup B)\cap\overline{A\cap B}

et donc 3$A\Delta B = A\cap B \Leftrightarrow (A\cup B)\cap\overline{A\cap B} = A\cap B

et donc: 3$A\Delta B = A\cap B \Rightarrow (A\cup B)\cap\overline{A\cap B}\cap (A\cap B)= (A\cap B)\cap(A\cap B) =A\cap B

Or 3$\overline{A\cap B}\cap (A\cap B) = \empty

donc 3$A\cap B = \empty et donc 3$A\Delta B = A\cup B = A\cap B =\empty et donc 3$A=B=\empty

Posté par
Noflahre : exo sur les ensembles (2) 28-08-10 à 19:02

Hedgefunder -> tu peux y aller, je me souviens que l'un des exo on l'avait corrigé avec les fonctions indicatrices.

Posté par
hedgefunderre : exo sur les ensembles (2) 28-08-10 à 19:43

Monrow je ne comprends pas comment tu arrive à

Citation :
donc AB=

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : exo sur les ensembles (2) 28-08-10 à 19:46

parce que


3$(A\cup%20B)\cap\overline{A\cap%20B}\cap%20(A\cap%20B)=(A\cup%20B)\cap\empty

et quelque chose inter le vide c'est égal au vide !

Posté par
hedgefunderre : exo sur les ensembles (2) 28-08-10 à 20:08

ah oui!
merci

II)5)

(A-C)\cap(B-C)=A\cap \overline{C}\cap B\cap \overline{C}=A\cap B\cap \overline{C}=(A\cap B)-C

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : exo sur les ensembles (2) 28-08-10 à 20:10

exact !

Posté par
hedgefunderre : exo sur les ensembles (2) 28-08-10 à 21:07

II)5)

(A-C)\cup(B-C)=(A\cap\overline{C})\cup(B\cap\overline{C})
              
                   =(A\cup B)\cap(A\cup\overline{C})\cap(\overline{C}\cup B)\cap\overline{C}
              
                   =(A\cup B)\cap\overline{C}\cap((A\cup\overline{C})\cap(\overline{C}\cup B))
              
                   =(A\cup B)\cap\overline{C}\cap((A\cap\overline{C})\cup(A\cap B)\cup\overline{C}\cup(\overline{C}\cap B)
              
                   =((A\cup B)\cap\overline{C})\cap((A\cap B)\cup\overline{C})=((A\cup B)\cap\overline{C}\cap(A\cap B))\cup((A\cup B)\cap\overline{C}\cap\overline{C})
              
                   =(A\cup B)\cap\overline{C}=(A\cup B)-C

Posté par
hedgefunderre : exo sur les ensembles (2) 28-08-10 à 21:26

c'était le II)6) en fait

pour le II)7)

(A-C)-(B-C)=(A\cap \overline{C})\cap \overline{(B\cap \overline{C})}=(A\cap \overline{C})\cap (\overline{B}\cup C)=(A\cap \overline{C}\cap \overline{B})\cup (A\cap \overline{C}\cap C)=A\cap \overline{C}\cap \overline{B}

ainsi

(A-C)-(B-C)=A\cap \overline{C}\cap \overline{B}=(A\cap \overline{B})\cap \overline{C}=(A-B)-C

et

(A-C)-(B-C)=A\cap \overline{C}\cap \overline{B}= A\cap (\overline{B}\cap\overline{C})=A\cap \overline{(B\cup C)}=A-(B\cup C)

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : exo sur les ensembles (2) 28-08-10 à 21:48

ça vient tout seul maintenant .. tout est bon

Posté par
hedgefunderre : exo sur les ensembles (2) 28-08-10 à 21:55

ok merci pour les deux dernière je verrai demain je commence a voir des \cap et de \cup de partout

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : exo sur les ensembles (2) 28-08-10 à 21:59

Ok A demain alors

Posté par
Camélia Correcteurre : exo sur les ensembles (2) 28-08-10 à 22:03

Bonne nuit, les petits...

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : exo sur les ensembles (2) 28-08-10 à 22:06

Camélia>> C'est encore 20h06 chez moi encore le temps de dîner quoi ^^

Posté par
Camélia Correcteurre : exo sur les ensembles (2) 28-08-10 à 22:09

Chez toi? Ton profil parle de Grenoble... même heure que la Côte d'Azur! Mais alors Bon appétit!

Posté par
Noflahre : exo sur les ensembles (2) 28-08-10 à 22:11

Bonsoir à tous,

Camélia : côte d'azur ? On est donc 3 à venir du même coin (hedgefunder est de la région aussi si je me souviens bien).

Bonne soirée à tous

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : exo sur les ensembles (2) 28-08-10 à 22:11

Euh oui c'est vrai ^^ Non là je suis au Maroc .. demain je retourne à Grenoble ..
Merci

Posté par
Camélia Correcteurre : exo sur les ensembles (2) 28-08-10 à 22:15

Côte d'Azur provisoire... Retour à paris la semaine prochaine...

Posté par
Noflahre : exo sur les ensembles (2) 28-08-10 à 22:17

Ah, désolé de parler des mauvaises choses ^^ Bientôt la rentrée.

Pour ma part si tout va bien, Paris ce sera pour dans un an. A bientôt donc

Posté par
hedgefunderre : exo sur les ensembles (2) 28-08-10 à 22:42

Citation :
(hedgefunder est de la région aussi si je me souviens bien)


oui, mais bientot je serai à Lyon (1er septembre)

Citation :
Paris ce sera pour dans un an


c'est tout le mal que je te souhaite, quel école tu préfèrerais?

Posté par
hedgefunderre : exo sur les ensembles (2) 29-08-10 à 15:02

pour le II)8
A,B et C sont trois éléments quelconque de P(E)
pour l'associativité

1_{(A\Delta B)\Delta C}=1_{A\Delta B}+1_{C}-2.1_{A\Delta B}.1_{C}=1_{A}+1_{B}+1_{C}-2.1_{A}.1_{B}-2.1_{A}1_{C}-2.1_{B}.1_{C}+4.1_{A}.1_{B}.1_{C}

1_{A\Delta(B\Delta C)}=1_{A}+1_{B\Delta C}-2.1_{A}.1_{B\Delta C}=1_{A}+1_{B}+1_{C}-2.1_{B}.1_{C}-2.1_{A}.1_{B}-2.1_{A}.1_{C}+4.1_{A}.1_{B}.1_{C}=1_{(A\Delta B)\Delta C}

pour l'élément neutre


A\Delta \empty=(A-\empty)\cup (\empty-A)=A

donc l'élément neutre est \empty

pour les symétriques

A\Delta A=(A-A)\cup (A-A)=\empty

donc tout élément de P(E) est inversible et son symétrique est lui même.

extension: le magma (P(E),) est associatif, possède un élément neutre et tous ses éléments sont inversibles c'est donc un groupe non? (et si oui est-ce bien formulé?)

Posté par
hedgefunderre : exo sur les ensembles (2) 29-08-10 à 15:03

* A\Delta A=(A-A)\cup (A-A)=\empty

j'ai pas fait d'aperçu

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : exo sur les ensembles (2) 29-08-10 à 15:31

oui tout est bon !

Ce groupe est abélien ..

Tu peux aussi montrer (si tu connais les anneaux) que 3$(\mathcal{P}(E),\Delta,cap) est un anneau commutatif (et même un anneau de Boole si tu connais).

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : exo sur les ensembles (2) 29-08-10 à 15:31

erreur d'aperçu ^^

3$(\mathcal{P}(E),\Delta,\cap) est un anneau commutatif (et même un anneau de Boole si tu connais).

Posté par
Camélia Correcteurre : exo sur les ensembles (2) 29-08-10 à 15:36

... et même qu'il est isomorphe à l'anneau de toutes les fonctions de E dans Z/2Z. (on ne fait pas un peu de surenchère?)

Posté par
hedgefunderre : exo sur les ensembles (2) 29-08-10 à 15:39

ah oui comme \cup il est facile de montrer que \Delta l'est aussi...

je ne connais les anneaux que tres vaguement (encore plus vaguement que je connais les groupes)

mais c'est un anneau car \cap est distributive sur \Delta non?

je reflechit à la II)9)

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : exo sur les ensembles (2) 29-08-10 à 15:49

Camelia>> En effet ^^

hedgefunder>> oui parce qu'elle est distributive et associatif aussi.

Posté par
hedgefunderre : exo sur les ensembles (2) 29-08-10 à 17:26

bon pour terminer le II)9)


on raisonne par l'absurde

Soit x élément de A_1\Delta...\Delta A_n

supposons que x est élément  de 2p A_i avec p et 02pn

comme la loi est associative et commutative l'ordre des A_i dans A_1\Delta...\Delta A_n est modifiable.

on peut donc "mettre ensemble" nos 2p éléments : j'arrive pas le rédiger correctement ce que je veut dire c'est que je fais p fois A_m\Delta A_j où A_m et A_j sont des ensembles auquels x appartient or
A_m\Delta A_j=(A_m\cup A_j)-(A_m\cap A_j) et comme x appartient à A_m\cap A_j x n'appartient pas à cet ensemble de p A_m\Delta A_j.

or x n'appartient pas non plus aux "Delta" des A_i restant tous simplement parcequ'il n'est pas élément de ceux-ci.

donc x n'appartient pas à  A_1\Delta...\Delta A_n ce qui est absurde

il faut donc que x appartiennent à un nombre impair de A_i
j'éspère que malgré cette rédaction vous avez compris l'idée...

Posté par
hedgefunderre : exo sur les ensembles (2) 30-08-10 à 23:25

un petit up


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