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Niveau quatrième
Triplet Pythagoricien
Posté par cece2907
Bonjour, pouvez-vous m'aider pour cet exercice svp ?
"Un triplet (a;b;c) est appelé Triplet Pythagoricien, si les trois nombres a, b et c sont entiers, positifs et vérifient la relation suivante : a2+b2=c2
On considère les nombres suivants, imaginés par le mathématicien Euclide
a=m2-n2
b=2mn
c= m2 + n2
4/ On peut fabriquer une infinité de triplets pythagoriciens avec les nombres imaginés par Euclide. Déterminer, de cette manière, deux autres triplets pythagoriciens.
5/Faire une démonstration générale pour prouver que les nombres imaginés par Euclide forment un triplet pythagoricien.
6/a. Montrer que, si un triplet est pythagoricien, alors que tout triplet qui lui est proportionnel est pythagoricien.
b. Quelle interpretation générale géométrique peut-on faire au sujet de la question précédente ?"
Je vous remercie d'avance.
Bonjour cece2907
4)
Citation :
deux autres triplets pythagoriciens.
deux autres triplets pythagoriciens.
sans les question précédentes, on ne peut pas t'aider.
5)
(m2+n2)2=?
(2mn)2=?
(m2-n2)2=?
1/ Calculer les nombres a, b et c pour m=2 et n=1
a= 4-1=3
b=2*2=4
c= 4+1=5
9+16=25
2/ Mêmes quesions avec m=3 et n=2
a=9-4=5
b=2*3*2=12
c=9+4=13
25+144= 169
3/ m=5 et n=3
a=25-9=16
b=2*5*3=30
c=25+9=34
256+900=1156
4)
tu choisis 2 autres valeurs pour m et n
5)
Les puissances, cours de quatrième
Calcul littéral : ce que je dois apprendre à faire en 4e
Savoir développer
(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd
(m2+n2)2= (m2+n2) (m2+n2)=?
(m2+n2)2=m4+n4 + ?
(2mn)2=4m2n2
(m2-n2)2= (m2-n2) (m2-n2)=?
(m2-n2)2=m4+n4-?
(m2+n2)2= (m2+n2) (m2+n2)=?
(m2+n2)2=m4+n4 + ?
(2mn)2=4m2n2
(m2-n2)2= (m2-n2) (m2-n2)=?
(m2-n2)2=m4+n4-?
Chatof @ 01-06-2019 à 16:45
4)
Savoir développer
(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd
4)
Savoir développer
(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd
ahh mais oui !! j'avais complètement oublié la double distibutivité désolée
(m2+n2)2=(m2+n2)(m2+n2)= m4+mn4+mn4+n4
(m2-n2)(m2-n2)= m4-mn4-mn4+n4
4) pour m=6 et n=4
a= m²-n2 = 62-42 = 36-16= 20
b=2mn = 2*6*4 = 2*24=48
c= m²-n2 = 62+42 = 36+16= 52
202+482= 400+2304= 2704 = c2
pour m=9 et n=7
a= m²-n2 = 92-72 = 81-49= 32
b=2mn = 2*9*7= 2*63=126
c= m²+n2 = 92+72 = 81+49= 130
322+1262= 1024+15876= 16900 = c2
En complément une fiche de 3e:
Cours sur les écritures littérales
remplace k par 1 , a par 1 et b par 1 pour tester ton opération.
4+3=1+1+1+1 + 1+1+1
4x3= 3+3+3+3
4^3=4x4x4
a'2+b'2=k2a2+k2b2=k2( ...+....)
un formulaire reprenant les résultats importants de la classe de quatrième
vous pouvez aussi voir:
Les triangles semblables
bonjour,
faudrait peut être conclure (explicitement)
après le "k²(a²+b²)" c'est pas fini il me semble !!
et puis k c'est quoi ? un nombre entier, un nombre réel quelconque ??
que dire de k =1/2 sur les exemples précédents ?
ce n'est pas dit dans l'énoncé tel que fourni ici, (il est juste dit "proportionnel")
donc c'est à toi de le préciser dans ta démonstration
Bonsoir, vous avez une idée pour le petit b ? J'ai pensé aux triangles semblables (côtés homologues proportionnels) mais je ne suis pas sûre, et ne vois pas comment formuler
si, c'est exactement ça.
un agrandissement d'un facteur k et c'est tout. ou des triangles semblables, c'est pareil.
il n'y a rien d'autre dans cette question.
Merci mathafou
Je ne sais pas le formuler. Je remarque que si on a un triangle rectangle, il reste rectangle si on agrandit ses mesures de façon proportionnel. Ou si on choisit une autre unité de longueur!
Par exemple la corde à 13 noeuds, on choisit arbitrairement la longueur entre 2 noeuds.
attention que ici on parle de triplets Pythagoriciens !! c'est à dire exclusivement formés de nombres entiers
on doit donc restreindre le facteur d'agrandissement à un nombre entier.
sauf peut être parfois que ça marche des fois avec un nombre fractionnaire
par exemple ce que je suggérais
Citation :
que dire de k =1/2 sur les exemples précédents ?
par exemple
que dire de k =1/2 sur les exemples précédents ?
pour m=9 et n=7 : a= 32, b=126, c=130
une proportion k = 1/2 donne a' = 16, b'=63, c' = 65
qui est un triplet Pythagoricien !! (65² = 63² + 16² = 4225)
par contre avec m=3 et n=2 : a=5, b=12, c=13
c'est "irréductible" : il n'existe aucune valeur de k < non entière qui donne 5k, 12k et 13k des nombres entiers.
on est ainsi amené à se poser la question des triplets Pythagoriciens "primitifs" ceux à partir desquels découlent tous les autres par "agrandissements".
mais ceci est un autre problème !!
notons toutefois que le triplet qu'on a obtenu en "divisant par 2" le triplet a= 32, b=126, c=130
est lui même obtenu par la "formule d'Euclide", en échangeant simplement les deux côtés de l'angle droit :
m = 8, n=1 donne a = 63, b = 16, c = 65
qui est bien le même triangle rectangle que 16, 63, 65
on peut montrer que tous les triangles primitifs sont tous obtenus par l'application de la formule d'Euclide
cette formule donnant aussi des triangles non primitifs (l'exemple ci dessus) on peut chercher à restreindre les valeurs de m et n de sorte que l'on obtienne tous les triangles primitifs et seulement des triangles primitifs
le critère est : m et n premiers entre eux (aucun diviseur commun) et de parité opposées.
ainsi m=9 et n=7, de même parité (tous deux impairs) ne donne pas un triplet primitif, comme on a pu le constater
de même m=6 et n=4 : a=20, b=48 , c=52
n'est pas primitif : m=6 et n=4 sont tous deux divisibles par 2
et le triplet obtenu est divisible par 4
inversement, certains triplets non primitifs ne peuvent pas être obtenus par les formules d'Euclide
il n'existe aucune valeur de m et n qui donneraient le triplet 9, 12, 15
qui ne peut être obtenu que en multipliant par 3 le triplet (primitif) 3, 4, 5
on donne ainsi généralement les formules d'Euclide sous la forme
a = k(m²-n²)
b = 2kmn
c = k(m²+n²)
qui donnent TOUS les triplets Pythagoriciens, en résumant la question 6a
mais tout ceci s'écarte pas mal de l'exo tel qu'il est donné !